엡실론-델타 논법

해석학에서, 엡실론-델타 논법(έψιλον-δέλτα論法, 영어: epsilon-delta argument)은 함수의 극한을 수학적으로 명확하게 정의하는 방법이다.

정의

파일:Límite 01.svg

$x$가 $c$와 $\delta$만큼 가까울 때, $f(x)$는 $L$과 $ϵ$ 이내 만큼 가깝다.

실수 부분 집합 $E\subseteq ℝ$에 정의된 실숫값 함수

$f:E\to ℝ$

가 $E$의 극한점(=집합의 점들이 모여드는 점)

$a\in E^{\prime }$

에서 가지는 극한

$\underset{E\ni x\to a}{\lim }f(x)=L$

을 엡실론-델타 논법을 통해 다음과 같이 정의를 할 수 있다.

• 임의의 $ϵ>0$에 대하여, 어떤 $\delta >0$가 존재하여, 임의의 $x\in E$에 대하여, $0<|x-a|<\delta$는 $|f(x)-L|<ϵ$을 함의한다.

이 조건의 기호 표기는 다음과 같다.

• $\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x\in E:0<|x-a|<\delta ⟹|f(x)-L|<ϵ$

즉, 임의의 오차 범위를 시험하였을 때, 독립 변수가 일정 값과 어떤 작은 거리 이내인 값에 대한 함숫값과 극한값이 그 오차 범위 이내인 것을 보장한다는 뜻이다. 여기서 사용된 표현 및 기호의 의미는 다음과 같다.

• "임의의 $ϵ>0$에 대하여, ..." 또는 $\mathrm{\forall }ϵ>0\cdots$는 모든 양의 실수 $ϵ$이 그 뒤에 오는 조건을 예외 없이 만족시킨다는 뜻이다.
• "어떤 $\delta >0$가 존재하여, ..." 또는 $\mathrm{\exists }\delta >0\cdots$는 적어도 하나의 양의 실수 $\delta$가 그 뒤에 오는 조건을 만족시킨다는 뜻이다.
• "...는 ...을 함의한다" 또는 $\cdots ⟹\cdots$는 앞의 조건의 만족이 뒤의 조건의 만족을 보장한다는 뜻이다.
• $0<|x-a|<\delta$는 독립 변수의 값 $x$가 일정 값 $a$와 거리 $\delta$ 이내이되, $a$와 같지 않다는 뜻이다.
• $|f(x)-L|<ϵ$는 함숫값 $f(x)$가 극한값인 $L$과 오차 $ϵ$ 의 값 이내라는 뜻이다.

예시

예를 들면 부정형 극한 $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=2$를 엡실론-델타 방법을 이용해서 증명할 수 있다.

1. 우선 임의의 상수 $ϵ>0$을 잡는다. 0.01이든 0.001이든 "임의로 작게 잡을 수 있어야 한다"
2. 그 다음에 우리는 1 근처에 적당한 값 x를 잡을 때 $|\frac{x^2-1}{x-1}-2|<ϵ$를 만족한다는 것을 보인다. 더 정확히는 적당히 델타를 잡아서 $0<|x-1|<\delta$를 만족하는 모든 x에 대해 성립함을 보인다.
3. 우선 $x^2-1=(x-1)(x+1)$이므로 x가 1이 아닐 때 위의 분수식은 $x+1$와 동일하다. 즉. 이 식은 $0<|x-1|<\delta$를 만족할 때 $|x+1-2|<ϵ$를 만족한다는 이야기이다.
4. 엡실론 $ϵ$를 아무리 작게 잡아도 델타 $\delta =ϵ$로 잡으면 $0<|x-1|<\delta$를 만족할 때 $|\frac{x^2-1}{x-1}-2|=|x-1|<ϵ=\delta$를 만족하므로 우리는 $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=2$임을 보일 수 있다.

거리 공간의 경우

거리 공간 $(X,d_X)$에서 거리 공간 $(Y,d_Y)$로 가는 함수

$f:X\to Y$

가 $X$의 극한점

$a\in X^{\prime }$

에서 가지는 극한

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$

의 엡실론-델타 논법을 통한 정의는 다음과 같다.

• 임의의 $ϵ>0$에 대하여, 어떤 $\delta >0$가 존재하여, 임의의 $x\in X$에 대하여, $d_X(x,a)<\delta$는 $d_Y(f(x),L)<ϵ$을 함의한다.

이 조건의 기호 표기는 다음과 같다.

• $\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x\in E:0<d_X(x,a)<\delta ⟹d_Y(f(x),L)<ϵ$

응용

함수의 극한 외의 여러 해석학적 개념을 엡실론-델타 논법을 통해 정의할 수 있다. 특히, 실수 함수에 대해서는 다음과 같다.

개념	엡실론-델타 정의
점에서 연속	$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x\in E:|x-a|<\delta ⟹|f(x)-f(a)|<ϵ$
연속 함수	$\mathrm{\forall }a\in E^{\prime }\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x\in E:|x-a|<\delta ⟹|f(x)-f(a)|<ϵ$
균등 연속 함수	$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x,y\in E:|x-y|<\delta ⟹|f(x)-f(y)|<ϵ$

거리 공간의 경우

두 거리 공간 사이의 함수에 대한 여러 가지 개념의 엡실론-델타 정의는 다음과 같다.

개념	엡실론-델타 정의
점에서 연속	$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x\in X:d_X(x,a)<\delta ⟹d_Y(f(x),f(a))<ϵ$
연속 함수	$\mathrm{\forall }a\in E^{\prime }\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x\in X:d_X(x,a)<\delta ⟹d_Y(f(x),f(a))<ϵ$
균등 연속 함수	$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x,y\in X:d_X(x,y)<\delta ⟹d_Y(f(x),f(y))<ϵ$

역사

1817년 베른하르트 볼차노가 기본적인 개념을 세웠고, 19세기 프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 최초 (ε, δ) 표기를 사용해 좀 더 엄밀하게 정의하였고, 후에 카를 바이어슈트라스가 이것을 논리적으로 더욱 엄밀하게 하여 정식화하였다.

같이 보기

• 함수의 극한
• 수열의 극한
• 미적분학
• 해석학 (수학)

외부 링크

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