엡실론-델타 논법

해석학에서, 엡실론-델타 논법(έψιλον-δέλτα論法, 영어: epsilon-delta argument)은 함수의 극한을 수학적으로 명확하게 정의하는 방법이다.

정의[편집 | 원본 편집]

x

가

c

와

\delta

만큼 가까울 때,

f(x)

는

L

과

\epsilon

이내 만큼 가깝다.

실수 부분 집합 $E\subseteq \mathbb {R}$ 에 정의된 실숫값 함수

f\colon E\to \mathbb {R}

가 $E$ 의 극한점(=집합의 점들이 모여드는 점)

a\in E'

에서 가지는 극한

\lim _{E\ni x\to a}f(x)=L

을 엡실론-델타 논법을 통해 다음과 같이 정의를 할 수 있다.

임의의 $\epsilon >0$ 에 대하여, 어떤 $\delta >0$ 가 존재하여, 임의의 $x\in E$ 에 대하여, $0<|x-a|<\delta$ 는 $|f(x)-L|<\epsilon$ 을 함의한다.

이 조건의 기호 표기는 다음과 같다.

$\forall \epsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in E\colon \;0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-L|<\epsilon$

즉, 임의의 오차 범위를 시험하였을 때, 독립 변수가 일정 값과 어떤 작은 거리 이내인 값에 대한 함숫값과 극한값이 그 오차 범위 이내인 것을 보장한다는 뜻이다. 여기서 사용된 표현 및 기호의 의미는 다음과 같다.

"임의의 $\epsilon >0$ 에 대하여, ..." 또는 $\forall \epsilon >0\;\cdots$ 는 모든 양의 실수 $\epsilon$ 이 그 뒤에 오는 조건을 예외 없이 만족시킨다는 뜻이다.
"어떤 $\delta >0$ 가 존재하여, ..." 또는 $\exists \delta >0\;\cdots$ 는 적어도 하나의 양의 실수 $\delta$ 가 그 뒤에 오는 조건을 만족시킨다는 뜻이다.
"...는 ...을 함의한다" 또는 $\cdots \implies \cdots$ 는 앞의 조건의 만족이 뒤의 조건의 만족을 보장한다는 뜻이다.
$0<|x-a|<\delta$ 는 독립 변수의 값 $x$ 가 일정 값 $a$ 와 거리 $\delta$ 이내이되, $a$ 와 같지 않다는 뜻이다.
$|f(x)-L|<\epsilon$ 는 함숫값 $f(x)$ 가 극한값인 $L$ 과 오차 $\epsilon$ 의 값 이내라는 뜻이다.

예를 들면 부정형 극한 $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2$ 를 엡실론-델타 방법을 이용해서 증명할 수 있다.

우선 임의의 상수 $\epsilon >0$ 을 잡는다. 0.01이든 0.001이든 "임의로 작게 잡을 수 있어야 한다"
그 다음에 우리는 1 근처에 적당한 값 x를 잡을 때 $\left|{\frac {x^{2}-1}{x-1}}-2\right|<\epsilon$ 를 만족한다는 것을 보인다. 더 정확히는 적당히 델타를 잡아서 $0<|x-1|<\delta$ 를 만족하는 모든 x에 대해 성립함을 보인다.
우선 $x^{2}-1=(x-1)(x+1)$ 이므로 x가 1이 아닐 때 위의 분수식은 $x+1$ 와 동일하다. 즉. 이 식은 $0<|x-1|<\delta$ 를 만족할 때 $|x+1-2|<\epsilon$ 를 만족한다는 이야기이다.
엡실론 $\epsilon$ 를 아무리 작게 잡아도 델타 $\delta =\epsilon$ 로 잡으면 $0<|x-1|<\delta$ 를 만족할 때 $\left|{\frac {x^{2}-1}{x-1}}-2\right|=|x-1|<\epsilon =\delta$ 를 만족하므로 우리는 $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2$ 임을 보일 수 있다.

거리 공간 $(X,d_{X})$ 에서 거리 공간 $(Y,d_{Y})$ 로 가는 함수

f\colon X\to Y

가 $X$ 의 극한점

a\in X'

에서 가지는 극한

\lim _{x\to a}f(x)=L

의 엡실론-델타 논법을 통한 정의는 다음과 같다.

임의의 $\epsilon >0$ 에 대하여, 어떤 $\delta >0$ 가 존재하여, 임의의 $x\in X$ 에 대하여, $d_{X}(x,a)<\delta$ 는 $d_{Y}(f(x),L)<\epsilon$ 을 함의한다.

이 조건의 기호 표기는 다음과 같다.

$\forall \epsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in E\colon \;0<d_{X}(x,a)<\delta \implies d_{Y}(f(x),L)<\epsilon$

함수의 극한 외의 여러 해석학적 개념을 엡실론-델타 논법을 통해 정의할 수 있다. 특히, 실수 함수에 대해서는 다음과 같다.

개념	엡실론-델타 정의
점에서 연속	$\forall \epsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in E\colon \;\|x-a\|<\delta \implies \|f(x)-f(a)\|<\epsilon$
연속 함수	$\forall a\in E'\;\forall \epsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in E\colon \;\|x-a\|<\delta \implies \|f(x)-f(a)\|<\epsilon$
균등 연속 함수	$\forall \epsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x,y\in E\colon \|x-y\|<\delta \implies \|f(x)-f(y)\|<\epsilon$

두 거리 공간 사이의 함수에 대한 여러 가지 개념의 엡실론-델타 정의는 다음과 같다.

개념	엡실론-델타 정의
점에서 연속	$\forall \epsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in X\colon \;d_{X}(x,a)<\delta \implies d_{Y}(f(x),f(a))<\epsilon$
연속 함수	$\forall a\in E'\;\forall \epsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in X\colon \;d_{X}(x,a)<\delta \implies d_{Y}(f(x),f(a))<\epsilon$
균등 연속 함수	$\forall \epsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x,y\in X\colon d_{X}(x,y)<\delta \implies d_{Y}(f(x),f(y))<\epsilon$