자이페르트-판 캄펀 정리

대수적 위상수학에서, 자이페르트-판 캄펀 정리(-定理, 영어: Seifert–van Kampen theorem)는 위상 공간의 기본군을 두 조각으로 쪼개어 계산할 수 있게 하는 정리이다.

정의[편집 | 원본 편집]

위상 공간 $X$ 및 두 부분 공간 $A,B\subseteq X$ 가 주어졌고, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

$\operatorname {int} A\cup \operatorname {int} B=X$

또한, 부분 공간 $C\subseteq X$ 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

$A$ 또는 $B$ 또는 $A\cap B$ 의 임의의 경로 연결 성분과의 교집합은 공집합이 아니다.

그렇다면, 자이페르트-판 캄펀 정리에 따르면 다음 명제들이 성립한다.

$C$ 는 $X$ 의 모든 경로 연결 성분들과 교차한다.
포함 관계에 의하여 유도되는 다음과 같은 기본 준군의 사상들은 준군 범주에서의 밂을 이룬다.
${\begin{matrix}\Pi _{1}(A\cap B,C)&\to &\Pi _{1}(A,C)\\\downarrow &&\downarrow \\\Pi _{1}(B,C)&\to &\Pi _{1}(X,C)\end{matrix}}$

특히, $A$ 와 $B$ 가 경로 연결 공간이며, $C=\{c\}\subseteq A\cap B$ 는 한원소 집합이며, $A\cap B$ 는 공집합이 아닌 경로 연결 공간이라고 하자. 그렇다면 $X$ 는 경로 연결 공간(Path-connected Space)이며, 다음과 같은, 기본군의 (군의 범주에서의) 밂이 존재한다.

{\begin{matrix}\pi _{1}(A\cap B,c)&\to &\pi _{1}(A,c)\\\downarrow &&\downarrow \\\pi _{1}(B,c)&\to &\pi _{1}(X,c)\end{matrix}}

증명[편집 | 원본 편집]

출처 : Allen Hacther, Algebraic Topology

다양한 증명방법이 있으나 여기서는 경로 연결 공간 두 개를 붙일 때만 생각한다. 세 개 이상일 때에는 모든 교집합 $A_{i_{1}}\cap \cdot \cdot \cdot A_{i_{r}}$ 들이 경로연결(Path-connected)을 보장해야 한다.

우선 집합 A, B, X의 기본군(Fundamental Group)에 의해 생성되는 준동형사상(homomorphism) $\Phi _{X}:\pi _{1}(A)\ast \pi _{1}(B)\rightarrow \pi _{1}(X)$ 가 전사(surjective)임을 보인다. 일단 기본군은 루프(loop)의 시작점과는 무관하므로 우리는 $A\cap B$ 위의 점 x를 밑점(base point)으로 하는 공간 X상에서 루프를 잡을 수 있다.

아래 그림을 참고하면 $A\cup B$ 상의 루프 $x=\alpha \cdot \beta$ 를 가정하자. 그러면 x의 점 중 $A\cap B$ 상에서의 점 $X_{0},X_{1}$ 에 대해 x₀과 x₁를 잇는 경로를 γ라고 놓을 때 $x=\alpha \cdot \beta =\alpha \cdot \gamma \cdot {\gamma }^{-1}\cdot \beta$ 가 되며, $\alpha \cdot \gamma$ 는 A상의 루프, $\gamma ^{-1}\cdot \beta$ 는 B상의 루프가 된다. 따라서 다음과 같은 전사함수 $\pi _{1}(A)\ast pi_{1}(B)\rightarrow \pi _{1}(A\cup B):c_{1}\cdot c_{2}\cdot \cdots \cdot c_{r}\rightarrow$ 를 만들 수 있다.

이제는 A와 B의 교집합 A∩B를 생각해보자. 그러면 연속인 단사함수 $i_{1}:A\cap B\rightarrow A$ 와 $i_{2}:A\cap B\rightarrow B$ 에 대해서 이것과 상응하는 근원군의 준동형사상 $c_{1}:\pi _{1}(A\cap B)\rightarrow \pi _{1}(A)$ , $c_{2}:\pi _{1}(A\cap B)\rightarrow \pi _{1}(B)$ 가 존재한다. 이제 군 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle pi_{1}(A\cap B)} 의 생성자(generator)들을 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \omega _{1},\cdots } 라고 놓자. 그러면 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle c_{1}(\omega _{i})} 는 상(image) 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle c_{1}(\pi _{1}(A\cap B))} 의 생성자, 마찬가지로 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle c_{2}(\omega _{i})} 는 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle c_{2}(\pi _{1}(A\cap B))} 의 생성자가 된다.

${\begin{matrix}\pi _{1}(A\cap B,c)&\to &\pi _{1}(A,c)\\\downarrow &&\downarrow \\\pi _{1}(B,c)&\to &\pi _{1}(X,c)\end{matrix}}$

또한 경로 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle c=\omega \cdot \omega ^{-1}} 는 영경로이므로 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle pi_{1}(A\cup B)} 에서는 자명하게 영경로가 된다. 이것은 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \pi _{1}(A)\ast \pi _{1}(B)} 에서 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle c_{1}(\omega )\ast c_{2}(\omega ^{-1})} 이므로 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle c_{1}(\omega )\ast c_{2}(\omega ^{-1})} 는 전사함수 $\pi _{1}(A)\ast pi_{1}(B)\rightarrow \pi _{1}(A\cup B):c_{1}\cdot c_{2}\cdot \cdots \cdot c_{r}\rightarrow$ 의 핵(kernel)이 된다.

마지막으로 주어진 전사함수의 $\pi _{1}(A)\ast pi_{1}(B)\rightarrow \pi _{1}(A\cup B):c_{1}\cdot c_{2}\cdot \cdots \cdot c_{r}\rightarrow$ 핵의 생성자가 모두 위와 같은 형태임을 보인다. 우선 A∪B상의 루프 f를 분해한 값이 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f_{1}f_{2}\cdots f_{r}=g_{1}g_{2}\cdots g_{s}} 라고 가정을 하자. 각각의 경로가 A 또는 B안에만 있다고 가정한다. 그러면 구문 분석 실패 (구문 오류): {\displaystyle f_1 \cdots f_r </math과 <math>g_1 \cdots g_s} 사이에서 호모토피 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f:I\times I\rightarrow A\cup B} 가 존재한다. 여기서 우리는 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle R_{i}j:f_{t}\times g_{u}\rightarrow A\cup B} 라고 놓을 경우 [0,1]×[0,1] 공간 상에서 적절히 조절하여

예[편집 | 원본 편집]

원[편집 | 원본 편집]

원 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} } 에서,

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle A=(-1/3,2/3)/\mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {S} ^{1}}

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle B=(1/3,4/3)/\mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {S} ^{1}}

를 생각하자. 또한

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle C=\{0,1/2\}/\mathbb {Z} \subsetneq A\cap B}

라고 놓자. 그렇다면, $A$ 와 $B$ 및 $A\cap B$ 의 밑점 집합 $C$ 에서의 기본 준군은 다음과 같다. (항등 사상은 생략하였다.)

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \Pi _{1}(A,C)\colon {\overset {0}{\bullet }}{{\xrightarrow {\phi }} \atop {\xleftarrow[{\phi ^{-1}}]{}}}{\overset {1/2}{\bullet }}}

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \Pi _{1}(B,C)\colon {\overset {0}{\bullet }}{{\xrightarrow {\phi '^{-1}}} \atop {\xleftarrow[{\phi '}]{}}}{\overset {1/2}{\bullet }}}

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \Pi _{1}(A\cap B,C)\colon {\overset {0}{\bullet }}\qquad {\overset {1/2}{\bullet }}}

따라서, 원의 기본은 $A$ 와 $B$ 의 준군들의 쌍대곱이다. 이 경우 항등 사상이 아닌 사상 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \phi '\circ \phi \colon 0\to 0} 이 존재하므로, 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \hom(0,0)} 및 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \hom(1/2,1/2)} 둘 다 무한 순환군 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathbb {Z} } 이다. $0$ 과 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 1/2} 는 $\Pi _{1}(\mathbb {S} ^{1},\{0,1/2\})$ 에서 서로 동형이다. 따라서 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} 의 기본군은 무한 순환군이다.

구[편집 | 원본 편집]

2차원 이상의 초구 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} 에서, 세 개의 서로 다른 점 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {S} ^{n}} 를 잡고,

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle A=\mathbb {S} ^{n}\setminus \{a\}}

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle B=\mathbb {S} ^{n}\setminus \{b\}}

로 놓자. 그렇다면 $A$ 와 $B$ 둘 다 $n$ 차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 과 위상 동형이며, 특히 축약 가능 공간이다. $A\cap B$ 는 기둥 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}\times \mathbb {R} } 와 위상 동형이다.

자이페르트-판 캄펀 정리에 따라, 다음이 성립한다.

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {S} ^{n},c)=\pi _{1}(A,c)*_{\pi _{1}(A\cap B,c)}\pi _{1}(B,c)}

그런데 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \pi _{1}(A)} 와 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \pi _{1}(B)} 둘 다 자명군이므로, 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {S} ^{n})} 역시 자명군이다.

역사[편집 | 원본 편집]

헤르베르트 자이페르트^[1]틀:Rp^[2]틀:Rp와 에흐베르튀스 판 캄펀^[3]이 증명하였다. 로널드 브라운(영어: Ronald Brown)이 이를 기본 준군에 대하여 일반화하였다.^[4]

참고 문헌[편집 | 원본 편집]

각주

↑ Seifert, H. (1931). “Konstruction dreidimensionaler geschlossener Raume”. 《Berichte der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse》 (Deutsch) 83: 26–66.
↑ Seifert, H. (1932). “Topologie dreidimensionaler gefaserter Räume” (PDF). 《Acta Mathematica》 (Deutsch) 60: 147-238. doi:10.1007/BF02398271.
↑ van Kampen, Egbert R. (1933). “On the connection between the fundamental groups of some related spaces”. 《American Journal of Mathematics》 (English) 55: 261–267. JSTOR 51000091.
↑ Brown, R. (1967). “Groupoids and Van Kampen’s theorem”. 《Proceedings of the London Mathematical Society (third series)》 (English) 17 (3): 385–401. doi:10.1112/plms/s3-17.3.385.