테일러 급수

Taylor 級數, Taylor series.

개요

$f$가 실함수 또는 복소함수이고 $x=x_{0}$에서 무한 번 미분가능할 경우, 거듭제곱급수

$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}$

를 $f$의 $x=x_{0}$에서의 테일러 급수(Taylor series)라고 한다. $x_{0}=0$일 경우, 매클로린 급수(Maclaurin series)라고도 부른다.

여러 함수의 테일러 급수

이 예들은 $x_{0}=0$일 때를 다루므로 매클로린 급수의 예이기도 하다.

무한등비급수 ${1 \over 1-x}$

$\displaystyle {1 \over 1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n}+\cdots ,|x|<1$ 일 때 수렴한다.

지수함수 $e^{x}$

$\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+\cdots +{x^{n} \over n!}+\cdots ,$ 전구간에서 수렴한다.

증명

$f(x)=e^{x}$ 의 도함수는 자기 자신, 즉 $f'(x)=e^{x}$이다. 따라서 $f^{(n)}(0)=1$ 이 되므로, $\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{f^{(n)}(0) \over n!}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}x^{n}$ 이 성립한다.

활용

자연상수 e 구하기

이 식에서 $x=1$을 대입해 주면 아래와 같은 식을 얻는다.

$\displaystyle e={{1} \over {0!}}+{{1} \over {1!}}+{1 \over {2!}}+{1 \over {3!}}+{1 \over {4!}}+...$

이를 계산하면 e의 값을 구할 수 있다. n = 4까지만 계산해 주어도 $\displaystyle {65 \over 24}=2.708333\cdots$가 되어 참값 $2.7182818284\cdots$와의 오차가 약 0.01밖에 나지 않는다. 컴퓨터를 이용해 죽 계산해주면 금방 어마어마한 자리수의 근삿값을 구할 수 있다.

오일러의 공식 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 증명하기

식에 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle x} 대신 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle ix} 를 대입해 보자.(구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle i = \sqrt {-1} } )

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty {(ix)^n \over n!} = 1 + ix + {(ix)^2 \over 2!} + {(ix)^3 \over 3!} + {(ix)^4 \over 4!} + \cdots + {(ix)^n \over n!} + \cdots }

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, \cdots } 이므로,

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle e^{ix} = 1 + ix - {x \over 2!} -i {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots = (1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} - \cdots + (-1)^n{x^{2n} \over (2n)!} + \cdots) + i(x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - \cdots + (-1)^n{x^{2n+1} \over (2n+1)!} + \cdots) }

이를 후술할 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \sin x, \cos x } 의 테일러 급수로 나타내면,

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty {(-1)^n x^{2n} \over (2n)!} + i\sum_{n=0}^\infty {(-1)^n x^{2n+1} \over (2n+1)!} = \cos x+ i\sin x } 임을 보일 수 있다.

이항급수 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle (1+x)^\alpha }

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle (1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n}x^n = 1 + \alpha x + {\alpha (\alpha - 1) \over 2!}x^2 + \cdots + {\alpha (\alpha - 1)\cdots (\alpha - n +1) \over n!}x^n + \cdots }

활용

이 이항급수의 테일러 급수는 과학, 공학 분야에서 상당히 많이 쓰이는 편이다. 주로 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle x \ll 1 } 일 때 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle n=1 } 항까지 취해 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle (1+x)^\alpha \simeq 1 + \alpha x} 로 근사하는 경우가 많은데, 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle x \ll 1 } 이면 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle x^2 } 부터는 값이 아주 작아지기 때문이다.

삼각함수 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \sin x, \cos x }

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle \sin x = \sum_{n=0}^\infty {(-1)^n x^{2n+1} \over (2n+1)!} = x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - \cdots + (-1)^n{x^{2n+1} \over (2n+1)!} + \cdots } 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle \cos x = \sum_{n=0}^\infty {(-1)^n x^{2n} \over (2n)!} = 1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} - \cdots + (-1)^n{x^{2n} \over (2n)!} + \cdots } 모두 전구간에서 수렴한다.

활용

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle \lim_{x \to 0} {\sin x \over x} = 1 } 임을 증명해 보자.

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle \sin x = x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - \cdots + (-1)^n{x^{2n+1} \over (2n+1)!} + \cdots } 에서 양변을 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle x} 로 나누면

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle {\sin x \over x} = 1 - {x^2 \over 3!} + {x^4 \over 5!} - \cdots + (-1)^n{x^{2n} \over (2n+1)!} + \cdots } 이 된다.

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle x \to 0 } 일 때 이차항부터는 모두 0이 되어,

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle \lim_{x \to 0} {\sin x \over x} = 1 } 임을 알 수 있다.

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이러한 사실로부터 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle |x| \ll 1 } 이면 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \sin x \simeq x } 라는 근사를 얻을 수 있다. 이 근사 역시 과학, 공학 분야에서 많이 쓰이는데, 대표적으로는 진자의 운동을 기술할 때 사용한다.

쌍곡선함수 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \sinh x, \cosh x }

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle \sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} + \cdots }

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle \cosh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots }

모두 전구간에서 수렴한다.

증명

쌍곡선함수 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \sinh x, \cosh x } 는 모두 아래와 같이 지수함수구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle e^x } 로 표현 가능하므로 지수함수구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle e^x } 의 테일러 전개식을 이용해 쌍곡선함수의 테일러 전개를 유도할 수 있다.

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle \sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2} = \frac{1}{2}\left\{\left(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{4^2}{4!} + \cdots \right)-\left(1 + (-x) + \frac{(-x)^2}{2!} + \frac{(-x)^3}{3!} + \frac{(-x)^4}{4!} + \cdots \right) \right\} }

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle = \frac{1}{2}\left(2x + 2\cdot\frac{x^3}{3!} + 2\cdot\frac{x^5}{5!} + 2\cdot\frac{x^7}{7!} + 2\cdot\frac{x^9}{9!} + \cdots \right) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle \cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2} = \frac{1}{2}\left\{\left(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{4^2}{4!} + \cdots \right)+\left(1 + (-x) + \frac{(-x)^2}{2!} + \frac{(-x)^3}{3!} + \frac{(-x)^4}{4!} + \cdots \right) \right\} }

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle = \frac{1}{2}\left(2 + 2\cdot\frac{x^2}{2!} + 2\cdot\frac{x^4}{4!} + 2\cdot\frac{x^6}{6!} + 2\cdot\frac{x^8}{8!} + \cdots \right) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}}

로그함수 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \ln(1+x) }

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle \ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1}x^n \over n} = x - {x^2 \over 2} + {x^3 \over 3} - \cdots + (-1)^{n+1}{x^n \over n} + \cdots, |x|<1 } 일 때 수렴한다.

역탄젠트함수 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \tan^{-1} x }

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle \tan^{-1} x = \sum_{n=0}^\infty {(-1)^n x^{2n+1} \over 2n+1} = x - {x^3 \over 3} + {x^5 \over 5} - \cdots + (-1)^n {x^{2n+1} \over 2n+1} + \cdots, -1< x\le 1 } 일 때 수렴한다.

증명

역탄젠트함수 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \tan^{-1} x } 는 다음 등식이 성립한다. 해당 등식의 증명에 대해서는 아래 문단 참고

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle \tan^{-1} x=\int_{0}^{x}\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t \quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan^{-1}x=\frac{1}{x^2+1}}

또한 무한등비급수의 성질 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}ar^n = \frac{a}{1-r} \quad (-1<r< 1)} 에 의해 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle \frac{1}{t^2+1}} 를 다음과 같이 쓸 수 있다.

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle \frac{1}{t^2+1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-t^2)^n = 1 - t^2 + t^4 - t^6 + t^8 - \cdots \quad (-1<t< 1)}

양변을 t에 대하여 적분하면

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle \int_{0}^{x}\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t = \int_{0}^{x}\left(1 - t^2 + t^4 - t^6 + t^8 - \cdots\right)\mathrm{d}t = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \frac{x^9}{9} - \cdots}

따라서 역탄젠트함수의 테일러 전개는 아래와 같다.

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle\tan^{-1} x=\int_{0}^{x}\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1}}

등식 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle \tan^{-1} x=\int_{0}^{x}\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t } 의 증명

치환적분을 이용하여 해당 등식이 성립함을 증명할 수 있다.

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle \int_{0}^{x}\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t} 에서 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle t} 를 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle t=\tan\theta} 로 치환하면 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \mathrm{d}t=\sec^2\theta\mathrm{d}\theta} 이므로 해당 정적분은 치환적분법에 의해 다음과 같이 된다.

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle \int_{0}^{x}\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t = \int_{0}^{x}\frac{1}{\tan^2\theta+1}\sec^2\theta\mathrm{d}\theta=\int_{0}^{x} 1 \mathrm{d}\theta=\left[\theta \right]_0^x}

여기서 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \theta=\tan^{-1}t} 이므로

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \left[\theta \right]_0^x=\left[\tan^{-1}t \right]_0^x=\tan^{-1}x-\tan^{-1}(0)=\tan^{-1}x}

따라서 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle \int_{0}^{x}\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t = \tan^{-1} x } 이다.

오차함수 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \operatorname{erf}(x) }

오차함수(誤差函數, error function)의 정의는 다음과 같이 정의된다.

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \mathrm dt}

또한 오차함수의 테일러 전개는 아래와 같다.

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}\cdot \frac{x^{2n+1}}{n!}}

증명

상술한 지수함수 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle e^x} 의 테일러 전개에 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle x} 대신 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle -t^2} 를 대입하면

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle e^{-t^2}= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-t^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{t^{2n}}{n!} = 1 - t^2 + \frac{t^4}{2!} - \frac{t^6}{3!} + \frac{t^8}{4!} - \cdots }

위 식을 t에 대하여 적분하면

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle\int_0^x e^{-t^2} \mathrm dt = \displaystyle\int_0^x \left(1 - t^2 + \frac{t^4}{2!} - \frac{t^6}{3!} + \frac{t^8}{4!} - \cdots \right) \mathrm dt = x - \frac{1}{3}\cdot x^3 + \frac{1}{5}\cdot \frac{x^5}{2!} - \frac{1}{7}\cdot \frac{x^7}{3!} + \frac{1}{9}\cdot \frac{x^9}{4!} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}\cdot \frac{x^{2n+1}}{n!} }

따라서 오차함수의 테일러 전개는 아래와 같이 된다.

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \displaystyle\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \mathrm dt=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}\cdot \frac{x^{2n+1}}{n!}}

해석함수

해석함수 문서를 참고하십시오.

모든 함수의 테일러 급수가 반드시 원본과 일치하는 것은 아니다. 예를 들어, 실수에서 정의된 함수

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle f(x)=\begin{cases} \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right),& x > 0\\ 0,& x\le 0 \end{cases}}

는 임의의 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle n\in\mathbb{N}} 에 대해 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle f^{(n)}(0)=0} 이므로 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle f} 의 매클로린 급수는 영함수가 되어 원본과 일치하지 않음을 알 수 있다.

이 문서의 출처는 리브레 위키의 테일러 급수 문서의 646207판입니다.