테일러 급수

Taylor 級數, Taylor series.

개요

$f$가 실함수 또는 복소함수이고 $x=x_0$에서 무한 번 미분가능할 경우, 거듭제곱급수

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$

를 $f$의 $x=x_0$에서의 테일러 급수(Taylor series)라고 한다. $x_0=0$일 경우, 매클로린 급수(Maclaurin series)라고도 부른다.

여러 함수의 테일러 급수

이 예들은 $x_0=0$일 때를 다루므로 매클로린 급수의 예이기도 하다.

무한등비급수 $\frac{1}{1-x}$

$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=1+x+x^2+\cdots +x^n+\cdots ,|x|<1$ 일 때 수렴한다.

지수함수 $e^x$

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots ,$ 전구간에서 수렴한다.

증명

$f(x)=e^x$ 의 도함수는 자기 자신, 즉 $f^{\prime }(x)=e^x$이다. 따라서 $f^{(n)}(0)=1$ 이 되므로, $e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{x}^n$ 이 성립한다.

활용

자연상수 e 구하기

이 식에서 $x=1$을 대입해 주면 아래와 같은 식을 얻는다.

$e=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\mathrm{...}$

이를 계산하면 e의 값을 구할 수 있다. n = 4까지만 계산해 주어도 $\frac{65}{24}=2.708333\cdots$가 되어 참값 $2.7182818284\cdots$와의 오차가 약 0.01밖에 나지 않는다. 컴퓨터를 이용해 죽 계산해주면 금방 어마어마한 자리수의 근삿값을 구할 수 있다.

오일러의 공식 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 증명하기

식에 $x$대신 $ix$를 대입해 보자.($i=\sqrt{-1}$)

$e^{ix}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(ix{)}^n}{n!}=1+ix+\frac{(ix{)}^2}{2!}+\frac{(ix{)}^3}{3!}+\frac{(ix{)}^4}{4!}+\cdots +\frac{(ix{)}^n}{n!}+\cdots$

$i^2=-1,i^3=-i,i^4=1,\cdots$ 이므로,

$e^{ix}=1+ix-\frac{x}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots =(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots )+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots )$

이를 후술할 $\sin x,\cos x$의 테일러 급수로 나타내면,

$e^{ix}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}+i\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}=\cos x+i\sin x$ 임을 보일 수 있다.

이항급수 $(1+x{)}^{\alpha }$

$(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+\cdots$

활용

이 이항급수의 테일러 급수는 과학, 공학 분야에서 상당히 많이 쓰이는 편이다. 주로 $x\ll 1$ 일 때 $n=1$ 항까지 취해 $(1+x{)}^{\alpha }\simeq 1+\alpha x$로 근사하는 경우가 많은데, $x\ll 1$ 이면 $x^2$ 부터는 값이 아주 작아지기 때문이다.

삼각함수 $\sin x,\cos x$

$\sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots$ $\cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots$ 모두 전구간에서 수렴한다.

활용

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ 임을 증명해 보자.

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots$ 에서 양변을 $x$로 나누면

$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}+\cdots$ 이 된다.

$x\to 0$ 일 때 이차항부터는 모두 0이 되어,

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ 임을 알 수 있다.

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이러한 사실로부터 $|x|\ll 1$ 이면 $\sin x\simeq x$라는 근사를 얻을 수 있다. 이 근사 역시 과학, 공학 분야에서 많이 쓰이는데, 대표적으로는 진자의 운동을 기술할 때 사용한다.

쌍곡선함수 $\sinh x,\cosh x$

$\sinh x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots$

$\cosh x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots$

모두 전구간에서 수렴한다.

증명

쌍곡선함수 $\sinh x,\cosh x$는 모두 아래와 같이 지수함수$e^x$로 표현 가능하므로 지수함수$e^x$의 테일러 전개식을 이용해 쌍곡선함수의 테일러 전개를 유도할 수 있다.

$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{1}{2}\{(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{4^2}{4!}+\cdots )-(1+(-x)+\frac{(-x{)}^2}{2!}+\frac{(-x{)}^3}{3!}+\frac{(-x{)}^4}{4!}+\cdots )\}$

$=\frac{1}{2}(2x+2\cdot \frac{x^3}{3!}+2\cdot \frac{x^5}{5!}+2\cdot \frac{x^7}{7!}+2\cdot \frac{x^9}{9!}+\cdots )=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\frac{1}{2}\{(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{4^2}{4!}+\cdots )+(1+(-x)+\frac{(-x{)}^2}{2!}+\frac{(-x{)}^3}{3!}+\frac{(-x{)}^4}{4!}+\cdots )\}$

$=\frac{1}{2}(2+2\cdot \frac{x^2}{2!}+2\cdot \frac{x^4}{4!}+2\cdot \frac{x^6}{6!}+2\cdot \frac{x^8}{8!}+\cdots )=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

로그함수 $\ln (1+x)$

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}{x}^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}+\cdots ,|x|<1$일 때 수렴한다.

역탄젠트함수 ${\tan }^{-1}x$

${\tan }^{-1}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{2n+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+\cdots ,-1<x\le 1$ 일 때 수렴한다.

증명

역탄젠트함수 ${\tan }^{-1}x$는 다음 등식이 성립한다. 해당 등식의 증명에 대해서는 아래 문단 참고

${\tan }^{-1}x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\tan }^{-1}x=\frac{1}{x^2+1}$

또한 무한등비급수의 성질 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}a{r}^n=\frac{a}{1-r}(-1<r<1)$에 의해 $\frac{1}{t^2+1}$를 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\frac{1}{t^2+1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-t^2{)}^n=1-t^2+t^4-t^6+t^8-\cdots (-1<t<1)$

양변을 t에 대하여 적분하면

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(1-t^2+t^4-t^6+t^8-\cdots )\mathrm{d}t=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\cdots$

따라서 역탄젠트함수의 테일러 전개는 아래와 같다.

${\tan }^{-1}x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

등식 ${\tan }^{-1}x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t$ 의 증명

치환적분을 이용하여 해당 등식이 성립함을 증명할 수 있다.

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t$ 에서 $t$를 $t=\tan \theta$ 로 치환하면 $\mathrm{d}t={\sec }^2\theta \mathrm{d}\theta$이므로 해당 정적분은 치환적분법에 의해 다음과 같이 된다.

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{{\tan }^2\theta +1}{\sec }^2\theta \mathrm{d}\theta =\underset{0}{\overset{x}{\int }}1\mathrm{d}\theta ={\left[\theta \right]}_0^x$

여기서 $\theta ={\tan }^{-1}t$이므로

${\left[\theta \right]}_0^x={\left[{\tan }^{-1}t\right]}_0^x={\tan }^{-1}x-{\tan }^{-1}(0)={\tan }^{-1}x$

따라서 $\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t={\tan }^{-1}x$이다.

오차함수 $\mathrm{erf}(x)$

오차함수(誤差函數, error function)의 정의는 다음과 같이 정의된다.

$\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t$

또한 오차함수의 테일러 전개는 아래와 같다.

$\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}\cdot \frac{x^{2n+1}}{n!}$

증명

상술한 지수함수 $e^x$의 테일러 전개에 $x$대신 $-t^2$를 대입하면

$e^{-t^2}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-t^2{)}^n}{n!}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{t^{2n}}{n!}=1-t^2+\frac{t^4}{2!}-\frac{t^6}{3!}+\frac{t^8}{4!}-\cdots$

위 식을 t에 대하여 적분하면

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(1-t^2+\frac{t^4}{2!}-\frac{t^6}{3!}+\frac{t^8}{4!}-\cdots )\mathrm{d}t=x-\frac{1}{3}\cdot x^3+\frac{1}{5}\cdot \frac{x^5}{2!}-\frac{1}{7}\cdot \frac{x^7}{3!}+\frac{1}{9}\cdot \frac{x^9}{4!}-\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}\cdot \frac{x^{2n+1}}{n!}$

따라서 오차함수의 테일러 전개는 아래와 같이 된다.

$\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}\cdot \frac{x^{2n+1}}{n!}$

해석함수

해석함수 문서를 참고하십시오.

모든 함수의 테일러 급수가 반드시 원본과 일치하는 것은 아니다. 예를 들어, 실수에서 정의된 함수

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\exp (-\frac{1}{x^2}),& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$

는 임의의 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $f^{(n)}(0)=0$이므로 $f$의 매클로린 급수는 영함수가 되어 원본과 일치하지 않음을 알 수 있다.

이 문서의 출처는 리브레 위키의 테일러 급수 문서의 646207판입니다.