오일러 공식

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간단 정의

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,x\in \mathbb {R} ,i={\sqrt {-1}}.$

이걸로 얼마나 무시무시하고 끔찍한 일을 할 수 있는가?

x에 $\pi$를 대입하면,

이런 눈깔이 터져나갈 듯한 혐짤이 탄생한다. $e^{\pi i}=-1$

양변에 1 더하면,

$e^{\pi i}+1=0$

오 신이시여!!!!!

이걸로 ln i를 구해보자.

$\cos x=0$

일반해를 구하면,

$x=2n\pi \pm {\frac {\pi }{2}}$

이다.

즉 $\ln i=2n\pi i+{\frac {\pi i}{2}}$.

이걸로 i^i를 구해보자.

$i^{i}={e}^{i\ln i}=e^{-2n\pi -{\frac {\pi }{2}}}$

n=0이면

$i^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}$

cosx의 새로운 정의

위 식에서 $x$대신 $-x$를 대입하면.

$e^{-ix}=\cos \left(-x\right)+i\sin \left(-x\right)$

다시 정리하면,

$e^{-ix}=\cos \left(x\right)-i\sin \left(x\right)$

이걸 제 1식.

오일러의 항등식인

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

을 제 2식이라고 하면,

제1식+제2식하면,

$e^{ix}+e^{-ix}=\cos x+\cos x{\cancel {+i\ \sin x}}{\cancel {-i\ \sin x}}$

$2\cos x=e^{ix}+e^{-ix}$

$\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$

sinx의 새로운 정의

제1식=오일러의 항등식=$e^{ix}=\cos x+i\sin x$.

제2식=$e^{-ix}=\cos x-i\sin x$.

제1식-제2식 하면.

$e^{ix}-e^{-ix}={\cancel {\cos x}}+i\sin x{\cancel {-\cos x}}+i\sin x$

$e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin x$

양변을 2i로 나누면.

${\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}=\sin x$

분모와 분자에 각각 i를 곱해주면.

${\frac {i\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)}{-2}}=\sin x$

분모와 분자에 각각 -1을 곱해주면.

${\frac {-i\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)}{2}}=\sin x$.

tanx의 새로운 정의

$\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {\frac {-i\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)}{2}}{\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}$

분모와 분자에 각각 2를 곱해주면.

$\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {-i\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)}{e^{ix}+e^{-ix}}}$