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피타고라스 정리 (Pythagorean theorem) 는 직각삼각형의 세 변 사이의 관계를 나타내는 정리입니다.

개요

피타고라스 정리 (Pythagorean theorem) 는 직각삼각형의 세 변 사이의 관계를 나타내는 정리입니다. 그리스의 수학자 피타고라스가 처음으로 수학적인 증명을 했다고 전해지기에 현재의 이름을 가지게 되었으나, 이 정리의 내용을 이미 고대의 메소포타미아 문명이나 이집트 문명에서 이미 알아내어 활용했던 것이 확인되었습니다. 물론 그러한 문명에서는 수학적 정리가 아니라 단순히 실용적으로 사용하는 수준에 그쳤기에 피타고라스의 이름을 붙인 것이 불합리한 일은 아닙니다.

피타고라스 정리는 유클리드 공간에서 성립되며, 평평하지 않은 곳―즉 비유클리드 공간에서는 성립하지 않습니다. 이 정리를 활용하면 어떤 직각삼각형의 두 변의 길이를 알면 다른 한 변의 길이를 알아낼 수 있습니다.

표현

피타고라스 정리의 내용은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

임의의 직각삼각형에서 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 다른 두 변을 각각 한 변으로 하는 두 정사각형의 넓이의 합과 같다.

빗변의 길이를 $c$로 표시하고 다른 두 변을 $a,b$로 표시하면 아래와 같은 식이 나오게 됩니다.

$a^2+b^2=c^2$

여기에서 $a^2,b^2,c^2$은 각각 $a$를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이, $b$를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이, $c$를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이를 의미합니다. 정사각형은 밑변과 높이의 양이 같기 때문에 같은 수를 자승한 것이라고 여길 수 있으므로, 각각의 정사각형의 넓이를 나타낼 때 이처럼 각 변의 자승으로 표현할 수 있습니다.

이것을 빗변인 $c$에 대해 정리하면 아래와 같습니다.

$c=\sqrt{a^2+b^2}$

여기에서 $c$는 길이의 개념이기 때문에 항상 0이나 양수의 값을 가지게 됩니다.

증명

파일:피타고라스 정리 기하학적 증명.png

위의 그림을 이용하여 피타고라스의 정리를 기하학적으로 증명해봅시다. 우선 $H$는 꼭짓점 $C$에서 변 $AB$에 내린 수선의 발입니다. 이럴 경우, 삼각형 $ACH$와 삼각형 $ABC$는 닮음이 되며 삼각형 $CBH$와 삼각형 $ABC$도 닮음이 됩니다. 따라서 아래와 같은 두 식을 얻을 수 있습니다.

$AC\times AC=AB\times AH$

$CB\times CB=AB\times HB$

이렇게 얻은 두 식을 더하면

$AC\times AC+CB\times CB=AB\times AH+AB\times HB$

가 되는데 이것을 정리하면

$AB\times (AH+HB)=AB\times AB$

이 됩니다.

따라서,

$A{C}^2+B{C}^2=A{B}^2$

가 성립한다고 할 수 있습니다.