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복소수 (複素數, Complex number) 는 임의의 두 수 $a,b$를 실수, $i$를 허수단위라고 할 때 $a+bi$ 모양으로 나타낼 수 있는 수입니다.

개요

복소수 (複素數, Complex number) 는 임의의 두 수 $a,b$를 실수, $i$를 허수단위라고 할 때 $a+bi$ 모양으로 나타낼 수 있는 수입니다. 복소수가 탄생하기 이전에는 사람들이 실수 범위에서만 생각했었는데, 어떠한 실수도 자승하여 음수가 되지 않기에 $x^2=-1$과 같은 방정식의 근을 구하기 위해서는 수 체계를 확장할 필요가 있음을 깨닫게 되었습니다. 그렇게 허수가 탄생하게 되었는데, 기존의 모든 실수들을 실수 + 허수 꼴로 나타낸 다음에 허수 부분이 $0i$라고 할 수 있다는 사실에 따라 모든 수에 대한 복소 표기가 생기게 된 것입니다.

연산

상등

실수 부분이 서로 다르거나 허수 부분이 서로 다른 두 복소수가 있을 경우, 이 둘이 서로 다르다고 말할 수는 있으나 어떤 것이 더 크다거나 작다고 말할 수 없습니다. 즉, 두 실수의 대소는 정의하지만 실수가 아닌 복소수의 대소는 정의하지 않는 것입니다. 또한 두 복소수의 실수 부분이 서로 같고 허수 부분도 같을 때 두 복소수가 서로 같다고 말할 수 있습니다.

복소수의 상등에 대한 정의는 상당히 간단한 편인데, 임의의 수 $a,b,c,d$ 가 모두 실수이고 $a=c,b=d$ 이면 $a+bi$ 와 $c+di$ 는 서로 같으며 이를 $a+bi=c+di$ 로 나타낼 수 있습니다.

이러한 정의에 따라 임의의 수 $a,b$가 모두 실수일 때 $a=0,b=0$ 이면 $a+bi=0$ 임을 생각할 수도 있습니다.

성질

복소수의 연산에 대한 성질은 아래와 같이 요약할 수 있습니다.

1. $0$으로 나누는 경우를 제외하면 복소수에 대해 복소수를 피연산자로 취하는 사칙연산을 해도 복소수가 됩니다.

1. 임의의 수 $\alpha ,\beta ,\gamma$가 복소수면 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙에 따라 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
   1. 교환법칙 : $\alpha +\beta =\beta +\alpha$ 이며 $\alpha \beta =\beta \alpha$ 입니다.
   2. 결합법칙 : $(\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )$ 이며 $(\alpha \beta )\gamma =\alpha (\beta \gamma )$ 입니다.
   3. 분배법칙 : $\alpha (\beta +\gamma )=\alpha \beta +\alpha \gamma$ 이며 $(\beta +\gamma )\alpha =\beta \alpha +\gamma \alpha$ 입니다.

사칙연산

$a,b,c,d$가 실수이고 $i$가 허수 단위일 때, 복소수의 사칙연산은 아래와 같이 정리할 수 있습니다.

1. 덧셈 : $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
2. 뺄셈 : $(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$
3. 곱셈 : $(a+bi)\times (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$
4. 나눗셈 : $\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}-\frac{ad-bc}{c^2+d^2}i$ (단, $c+di\ne 0$)