연쇄법칙

연쇄법칙(Chain Rule)은 합성함수의 도함수에 관한 법칙이다.

설명

두 미분가능한 함수 $f(x),g(x)$의 합성함수$(f\circ g)(x)=f(g(x))$가 존재할 때 도함수를 구하는 법칙이다. 여기서 더 정확히 보면 함수 $g(x)$가 $x=c_0$에서 미분가능하고, 함수 $f(x)$가 $x=g(x_0)$에서 미분가능하다고 할 때 합성함수의 도함수는 다음과 같이 유도할 수 있다.

$(f\circ g{)}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(g(x_0))\cdot g^{\prime }(x_0)$

여기서 $y=f(u),u=g(x)$일 때 라이프니츠 표기법을 이용해서 표시하면 다음과 같이 정의할 수 있다.

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

다변수 함수에서 정의

다변수 집합 $X=(x_1,x_2,\cdots ,x_n),U=(u_1,u_2,\cdots ,u_r),Y=(y_1,y_2,\cdots ,y_m)$과 다변수 사상 $F:U\to Y,G:X\to U$에 대해 점 $𝐚$에서 $(F\circ G):X\to Y$에서의 다변수 사상의 미분은 다음과 같이 유도된다.

$D(f\circ g)(𝐚)=Df(g(𝐚))Dg(𝐚)$

파 디 브루노의 정리

이 부분은 원래 파 디 브루노의 정리 문서의 일부입니다.

함수의 합성의 고계 도함수에 대한 다음과 같은 공식이 성립하며, 이를 파 디 브루노 공식(영어: Faà di Bruno's formula)이라고 한다.

$(f\circ g{)}^{(n)}(x)=\sum _{k_1,\dots ,k_n\ge 0}^{k_1+2k_2+\cdots n{k}_n=n}\frac{n!}{k_1!\cdots k_n!}{f}^{(k_1+\cdots +k_n)}(g(x))\prod _{m=1}^n{\left(\frac{g^{(m)}(x)}{m!}\right)}^{k_m}$

증명

일변수 함수일 경우 증명

이 정리를 증명하기 위해서는 다음과 같은 보조정리를 우선 증명해야 한다.

보조정리

함수 $y=f(x)$가 x에서 미분가능할 때 x 주변의 값에 대해서 y의 변화량 $\Delta y$는 x의 변화량 $\Delta x$와 적당한 변량 $ϵ$를 이용해서 다음과 같이 표현 가능하다:

$\Delta y=f^{\prime }(x)\Delta x+ϵ\Delta x$

여기서 $\Delta x\to 0$이면 $ϵ\to 0$이다.

증명

$ϵ=\{\begin{array}{cc}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}-f^{\prime }(x)& \Delta x\ne 0\\ 0& \Delta x=0\end{array}$

그런데 $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$이므로 $\Delta y=ϵ\Delta x+f^{\prime }(x)\Delta x$이다. 또한 $\Delta y=0if\Delta x=0$이므로 이 값은 $\Delta x$와 무관하게 성립한다.

마지막으로 미분가능의 정의를 이용해면 $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}-f^{\prime }(x)=0$ 을 유도할 수 있다.

이제 이 보조정리를 이용해서 $u=g(x)$라고 놓으면 $\Delta (u)=g^{\prime }(x)\Delta x+{ϵ}_1\Delta x$라고 놓을 수 있으며, 마찬가지로 $y=f(u)$인 것을 이용해서 $\Delta y=f^{\prime }(u)\Delta u+{ϵ}_2\Delta u$임을 이용할 수 있다. 여기서 ${ϵ}_1,{ϵ}_2$는 각각 $\Delta x$가 0으로 갈 때 0으로 수렴한다. 이 식을 이용해서

$\Delta y=[f^{\prime }(u)+{ϵ}_2][g^{\prime }(x)+{ϵ}_1]\Delta x$ 다시 말해 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=(f^{\prime }(u)+{ϵ}_2)(g^{\prime }(x)+{ϵ}_1)$로 놓을 수 있다. 그런데 $\Delta x$가 0으로 수렴할 때 ${ϵ}_1,{ϵ}_2$는 각각 0으로 수렴하므로 결과적으로

$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(u)g^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$로 수렴하는 것을 알 수 있다.