연쇄법칙

연쇄법칙(Chain Rule)은 합성함수의 도함수에 관한 법칙이다.

설명

두 미분가능한 함수 $f(x),g(x)$의 합성함수$(f\circ g)(x)=f(g(x))$가 존재할 때 도함수를 구하는 법칙이다. 여기서 더 정확히 보면 함수 $g(x)$가 $x=c_{0}$에서 미분가능하고, 함수 $f(x)$가 $x=g(x_{0})$에서 미분가능하다고 할 때 합성함수의 도함수는 다음과 같이 유도할 수 있다.

$(f\circ g)'(x_{0})=f'(g(x_{0}))\cdot g'(x_{0})$

여기서 $y=f(u),u=g(x)$일 때 라이프니츠 표기법을 이용해서 표시하면 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$

다변수 함수에서 정의

다변수 집합 $X=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}),U=(u_{1},u_{2},\cdots ,u_{r}),Y=(y_{1},y_{2},\cdots ,y_{m})$과 다변수 사상 $F:U\rightarrow Y,G:X\rightarrow U$에 대해 점 ${\rm {\mathbf {a}}}$에서 $(F\circ G):X\rightarrow Y$에서의 다변수 사상의 미분은 다음과 같이 유도된다.

$D(f\circ g)(\mathbf {a} )=Df(g(\mathbf {a} ))Dg(\mathbf {a} )$

파 디 브루노의 정리

이 부분은 원래 파 디 브루노의 정리 문서의 일부입니다.

함수의 합성의 고계 도함수에 대한 다음과 같은 공식이 성립하며, 이를 파 디 브루노 공식(영어: Faà di Bruno's formula)이라고 한다.

$(f\circ g)^{(n)}(x)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}\geq 0}^{k_{1}+2k_{2}+\cdots nk_{n}=n}{\frac {n!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}f^{(k_{1}+\cdots +k_{n})}(g(x))\prod _{m=1}^{n}\left({\frac {g^{(m)}(x)}{m!}}\right)^{k_{m}}$

증명

일변수 함수일 경우 증명

이 정리를 증명하기 위해서는 다음과 같은 보조정리를 우선 증명해야 한다.

보조정리

함수 $y=f(x)$가 x에서 미분가능할 때 x 주변의 값에 대해서 y의 변화량 $\Delta y$는 x의 변화량 $\Delta x$와 적당한 변량 $\epsilon$를 이용해서 다음과 같이 표현 가능하다:

$\Delta y=f'(x)\Delta x+\epsilon \Delta x$

여기서 $\Delta x\rightarrow 0$이면 $\epsilon \rightarrow 0$이다.

증명

$\epsilon ={\begin{cases}{{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}-f'(x)}&{\Delta x\neq 0}\\0&{\Delta x=0}\end{cases}}$

그런데 $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$이므로 $\Delta y=\epsilon \Delta x+f'(x)\Delta x$이다. 또한 $\Delta y=0if\Delta x=0$이므로 이 값은 $\Delta x$와 무관하게 성립한다.

마지막으로 미분가능의 정의를 이용해면 $\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}-f'(x)=0$ 을 유도할 수 있다.

이제 이 보조정리를 이용해서 $u=g(x)$라고 놓으면 $\Delta (u)=g'(x)\Delta x+\epsilon _{1}\Delta x$라고 놓을 수 있으며, 마찬가지로 $y=f(u)$인 것을 이용해서 $\Delta y=f'(u)\Delta u+\epsilon _{2}\Delta u$임을 이용할 수 있다. 여기서 $\epsilon _{1},\epsilon _{2}$는 각각 $\Delta x$가 0으로 갈 때 0으로 수렴한다. 이 식을 이용해서

$\Delta y=[f'(u)+\epsilon _{2}][g'(x)+\epsilon _{1}]\Delta x$ 다시 말해 ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}=(f'(u)+\epsilon _{2})(g'(x)+\epsilon _{1})$로 놓을 수 있다. 그런데 $\Delta x$가 0으로 수렴할 때 $\epsilon _{1},\epsilon _{2}$는 각각 0으로 수렴하므로 결과적으로

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=f'(u)g'(x)=f'(g(x))g'(x)$로 수렴하는 것을 알 수 있다.