자이페르트-판 캄펀 정리

대수적 위상수학에서, 자이페르트-판 캄펀 정리(-定理, 영어: Seifert–van Kampen theorem)는 위상 공간의 기본군을 두 조각으로 쪼개어 계산할 수 있게 하는 정리이다.

정의

위상 공간 $X$ 및 두 부분 공간 $A, B \subseteq X$ 가 주어졌고, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

$int A \cup int B = X$

또한, 부분 공간 $C \subseteq X$ 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

$A$ 또는 $B$ 또는 $A \cap B$ 의 임의의 경로 연결 성분과의 교집합은 공집합이 아니다.

그렇다면, 자이페르트-판 캄펀 정리에 따르면 다음 명제들이 성립한다.

$C$ 는 $X$ 의 모든 경로 연결 성분들과 교차한다.
포함 관계에 의하여 유도되는 다음과 같은 기본 준군의 사상들은 준군 범주에서의 밂을 이룬다.
$\begin{matrix} Π_{1} (A \cap B, C) & \to & Π_{1} (A, C) \\ ↓ & ↓ \\ Π_{1} (B, C) & \to & Π_{1} (X, C) \end{matrix}$

특히, $A$ 와 $B$ 가 경로 연결 공간이며, $C = {c} \subseteq A \cap B$ 는 한원소 집합이며, $A \cap B$ 는 공집합이 아닌 경로 연결 공간이라고 하자. 그렇다면 $X$ 는 경로 연결 공간(Path-connected Space)이며, 다음과 같은, 기본군의 (군의 범주에서의) 밂이 존재한다.

\begin{matrix} π_{1} (A \cap B, c) & \to & π_{1} (A, c) \\ ↓ & ↓ \\ π_{1} (B, c) & \to & π_{1} (X, c) \end{matrix}

증명

출처 : Allen Hacther, Algebraic Topology

다양한 증명방법이 있으나 여기서는 경로 연결 공간 두 개를 붙일 때만 생각한다. 세 개 이상일 때에는 모든 교집합 $A_{i_{1}} \cap \cdot \cdot \cdot A_{i_{r}}$ 들이 경로연결(Path-connected)을 보장해야 한다.

우선 집합 A, B, X의 기본군(Fundamental Group)에 의해 생성되는 준동형사상(homomorphism) $Φ_{X} : π_{1} (A) * π_{1} (B) \to π_{1} (X)$ 가 전사(surjective)임을 보인다. 일단 기본군은 루프(loop)의 시작점과는 무관하므로 우리는 $A \cap B$ 위의 점 x를 밑점(base point)으로 하는 공간 X상에서 루프를 잡을 수 있다.

아래 그림을 참고하면 $A \cup B$ 상의 루프 $x = α \cdot β$ 를 가정하자. 그러면 x의 점 중 $A \cap B$ 상에서의 점 $X_{0}, X_{1}$ 에 대해 x₀과 x₁를 잇는 경로를 γ라고 놓을 때 $x = α \cdot β = α \cdot γ \cdot γ^{- 1} \cdot β$ 가 되며, $α \cdot γ$ 는 A상의 루프, $γ^{- 1} \cdot β$ 는 B상의 루프가 된다. 따라서 다음과 같은 전사함수 $π_{1} (A) * p i_{1} (B) \to π_{1} (A \cup B) : c_{1} \cdot c_{2} \cdot \dots \cdot c_{r} \to$ 를 만들 수 있다.

이제는 A와 B의 교집합 A∩B를 생각해보자. 그러면 연속인 단사함수 $i_{1} : A \cap B \to A$ 와 $i_{2} : A \cap B \to B$ 에 대해서 이것과 상응하는 근원군의 준동형사상 $c_{1} : π_{1} (A \cap B) \to π_{1} (A)$ , $c_{2} : π_{1} (A \cap B) \to π_{1} (B)$ 가 존재한다. 이제 군 $p i_{1} (A \cap B)$ 의 생성자(generator)들을 $ω_{1}, \dots$ 라고 놓자. 그러면 $c_{1} (ω_{i})$ 는 상(image) $c_{1} (π_{1} (A \cap B))$ 의 생성자, 마찬가지로 $c_{2} (ω_{i})$ 는 $c_{2} (π_{1} (A \cap B))$ 의 생성자가 된다.

$\begin{matrix} π_{1} (A \cap B, c) & \to & π_{1} (A, c) \\ ↓ & ↓ \\ π_{1} (B, c) & \to & π_{1} (X, c) \end{matrix}$

또한 경로 $c = ω \cdot ω^{- 1}$ 는 영경로이므로 $p i_{1} (A \cup B)$ 에서는 자명하게 영경로가 된다. 이것은 $π_{1} (A) * π_{1} (B)$ 에서 $c_{1} (ω) * c_{2} (ω^{- 1})$ 이므로 $c_{1} (ω) * c_{2} (ω^{- 1})$ 는 전사함수 $π_{1} (A) * p i_{1} (B) \to π_{1} (A \cup B) : c_{1} \cdot c_{2} \cdot \dots \cdot c_{r} \to$ 의 핵(kernel)이 된다.

마지막으로 주어진 전사함수의 $π_{1} (A) * p i_{1} (B) \to π_{1} (A \cup B) : c_{1} \cdot c_{2} \cdot \dots \cdot c_{r} \to$ 핵의 생성자가 모두 위와 같은 형태임을 보인다. 우선 A∪B상의 루프 f를 분해한 값이 $f_{1} f_{2} \dots f_{r} = g_{1} g_{2} \dots g_{s}$ 라고 가정을 하자. 각각의 경로가 A 또는 B안에만 있다고 가정한다. 그러면 구문 분석 실패 (구문 오류): {\displaystyle f_1 \cdots f_r </math과 <math>g_1 \cdots g_s} 사이에서 호모토피 $f : I \times I \to A \cup B$ 가 존재한다. 여기서 우리는 $R_{i} j : f_{t} \times g_{u} \to A \cup B$ 라고 놓을 경우 [0,1]×[0,1] 공간 상에서 적절히 조절하여

예

원

원 $𝕊^{1} = ℝ / ℤ$ 에서,

A = (- 1 / 3, 2 / 3) / ℤ ⊊ 𝕊^{1}

B = (1 / 3, 4 / 3) / ℤ ⊊ 𝕊^{1}

를 생각하자. 또한

C = {0, 1 / 2} / ℤ ⊊ A \cap B

라고 놓자. 그렇다면, $A$ 와 $B$ 및 $A \cap B$ 의 밑점 집합 $C$ 에서의 기본 준군은 다음과 같다. (항등 사상은 생략하였다.)

Π_{1} (A, C) : \overset{0}{∙} \binom{\overset{ϕ}{\to}}{\leftarrow_{ϕ^{- 1}}^{}} \overset{1 / 2}{∙}

Π_{1} (B, C) : \overset{0}{∙} \binom{\overset{ϕ'^{- 1}}{\to}}{\leftarrow_{ϕ^{'}}^{}} \overset{1 / 2}{∙}

Π_{1} (A \cap B, C) : \overset{0}{∙} \overset{1 / 2}{∙}

따라서, 원의 기본은 $A$ 와 $B$ 의 준군들의 쌍대곱이다. 이 경우 항등 사상이 아닌 사상 $ϕ^{'} \circ ϕ : 0 \to 0$ 이 존재하므로, $hom (0, 0)$ 및 $hom (1 / 2, 1 / 2)$ 둘 다 무한 순환군 $ℤ$ 이다. $0$ 과 $1 / 2$ 는 $Π_{1} (𝕊^{1}, {0, 1 / 2})$ 에서 서로 동형이다. 따라서 $𝕊^{1}$ 의 기본군은 무한 순환군이다.

구

2차원 이상의 초구 $𝕊^{n}$ 에서, 세 개의 서로 다른 점 $a, b, c \in 𝕊^{n}$ 를 잡고,

A = 𝕊^{n} ∖ {a}

B = 𝕊^{n} ∖ {b}

로 놓자. 그렇다면 $A$ 와 $B$ 둘 다 $n$ 차원 유클리드 공간 $ℝ^{n}$ 과 위상 동형이며, 특히 축약 가능 공간이다. $A \cap B$ 는 기둥 $𝕊^{n - 1} \times ℝ$ 와 위상 동형이다.

자이페르트-판 캄펀 정리에 따라, 다음이 성립한다.

π_{1} (𝕊^{n}, c) = π_{1} (A, c) *_{π_{1} (A \cap B, c)} π_{1} (B, c)

그런데 $π_{1} (A)$ 와 $π_{1} (B)$ 둘 다 자명군이므로, $π_{1} (𝕊^{n})$ 역시 자명군이다.

역사

헤르베르트 자이페르트^[1]틀:Rp^[2]틀:Rp와 에흐베르튀스 판 캄펀^[3]이 증명하였다. 로널드 브라운(영어: Ronald Brown)이 이를 기본 준군에 대하여 일반화하였다.^[4]

참고 문헌

각주

↑ Seifert, H. (1931). “Konstruction dreidimensionaler geschlossener Raume”. 《Berichte der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse》 (Deutsch) 83: 26–66.
↑ Seifert, H. (1932). “Topologie dreidimensionaler gefaserter Räume” (PDF). 《Acta Mathematica》 (Deutsch) 60: 147-238. doi:10.1007/BF02398271.
↑ van Kampen, Egbert R. (1933). “On the connection between the fundamental groups of some related spaces”. 《American Journal of Mathematics》 (English) 55: 261–267. JSTOR 51000091.
↑ Brown, R. (1967). “Groupoids and Van Kampen’s theorem”. 《Proceedings of the London Mathematical Society (third series)》 (English) 17 (3): 385–401. doi:10.1112/plms/s3-17.3.385.