테일러 급수

Taylor 級數, Taylor series.

개요

$f$가 실함수 또는 복소함수이고 $x=x_{0}$에서 무한 번 미분가능할 경우, 거듭제곱급수

$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}$

를 $f$의 $x=x_{0}$에서의 테일러 급수(Taylor series)라고 한다. $x_{0}=0$일 경우, 매클로린 급수(Maclaurin series)라고도 부른다.

여러 함수의 테일러 급수

이 예들은 $x_{0}=0$일 때를 다루므로 매클로린 급수의 예이기도 하다.

무한등비급수 ${1 \over 1-x}$

$\displaystyle {1 \over 1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n}+\cdots ,|x|<1$ 일 때 수렴한다.

지수함수 $e^{x}$

$\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+\cdots +{x^{n} \over n!}+\cdots ,$ 전구간에서 수렴한다.

증명

$f(x)=e^{x}$ 의 도함수는 자기 자신, 즉 $f'(x)=e^{x}$이다. 따라서 $f^{(n)}(0)=1$ 이 되므로, $\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{f^{(n)}(0) \over n!}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}x^{n}$ 이 성립한다.

활용

자연상수 e 구하기

이 식에서 $x=1$을 대입해 주면 아래와 같은 식을 얻는다.

$\displaystyle e={{1} \over {0!}}+{{1} \over {1!}}+{1 \over {2!}}+{1 \over {3!}}+{1 \over {4!}}+...$

이를 계산하면 e의 값을 구할 수 있다. n = 4까지만 계산해 주어도 $\displaystyle {65 \over 24}=2.708333\cdots$가 되어 참값 $2.7182818284\cdots$와의 오차가 약 0.01밖에 나지 않는다. 컴퓨터를 이용해 죽 계산해주면 금방 어마어마한 자리수의 근삿값을 구할 수 있다.

오일러의 공식 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 증명하기

식에 $x$대신 $ix$를 대입해 보자.($\displaystyle i={\sqrt {-1}}$)

$e^{ix}=\sum _{n=0}^{\infty }{(ix)^{n} \over n!}=1+ix+{(ix)^{2} \over 2!}+{(ix)^{3} \over 3!}+{(ix)^{4} \over 4!}+\cdots +{(ix)^{n} \over n!}+\cdots$

$i^{2}=-1,i^{3}=-i,i^{4}=1,\cdots$ 이므로,

$\displaystyle e^{ix}=1+ix-{x \over 2!}-i{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots =(1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-\cdots +(-1)^{n}{x^{2n} \over (2n)!}+\cdots )+i(x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-\cdots +(-1)^{n}{x^{2n+1} \over (2n+1)!}+\cdots )$

이를 후술할 $\sin x,\cos x$의 테일러 급수로 나타내면,

$\displaystyle e^{ix}=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}x^{2n} \over (2n)!}+i\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}x^{2n+1} \over (2n+1)!}=\cos x+i\sin x$ 임을 보일 수 있다.

이항급수 $(1+x)^{\alpha }$

$\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}=1+\alpha x+{\alpha (\alpha -1) \over 2!}x^{2}+\cdots +{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1) \over n!}x^{n}+\cdots$

활용

이 이항급수의 테일러 급수는 과학, 공학 분야에서 상당히 많이 쓰이는 편이다. 주로 $x\ll 1$ 일 때 $n=1$ 항까지 취해 $(1+x)^{\alpha }\simeq 1+\alpha x$로 근사하는 경우가 많은데, $x\ll 1$ 이면 $x^{2}$ 부터는 값이 아주 작아지기 때문이다.

삼각함수 $\sin x,\cos x$

$\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}x^{2n+1} \over (2n+1)!}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-\cdots +(-1)^{n}{x^{2n+1} \over (2n+1)!}+\cdots$ $\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}x^{2n} \over (2n)!}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-\cdots +(-1)^{n}{x^{2n} \over (2n)!}+\cdots$ 모두 전구간에서 수렴한다.

활용

$\displaystyle \lim _{x\to 0}{\sin x \over x}=1$ 임을 증명해 보자.

$\displaystyle \sin x=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-\cdots +(-1)^{n}{x^{2n+1} \over (2n+1)!}+\cdots$ 에서 양변을 $x$로 나누면

$\displaystyle {\sin x \over x}=1-{x^{2} \over 3!}+{x^{4} \over 5!}-\cdots +(-1)^{n}{x^{2n} \over (2n+1)!}+\cdots$ 이 된다.

$x\to 0$ 일 때 이차항부터는 모두 0이 되어,

$\displaystyle \lim _{x\to 0}{\sin x \over x}=1$ 임을 알 수 있다.

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이러한 사실로부터 $|x|\ll 1$ 이면 $\sin x\simeq x$라는 근사를 얻을 수 있다. 이 근사 역시 과학, 공학 분야에서 많이 쓰이는데, 대표적으로는 진자의 운동을 기술할 때 사용한다.

쌍곡선함수 $\sinh x,\cosh x$

$\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}+\cdots$

$\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots$

모두 전구간에서 수렴한다.

증명

쌍곡선함수 $\sinh x,\cosh x$는 모두 아래와 같이 지수함수$e^{x}$로 표현 가능하므로 지수함수$e^{x}$의 테일러 전개식을 이용해 쌍곡선함수의 테일러 전개를 유도할 수 있다.

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {1}{2}}\left\{\left(1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {4^{2}}{4!}}+\cdots \right)-\left(1+(-x)+{\frac {(-x)^{2}}{2!}}+{\frac {(-x)^{3}}{3!}}+{\frac {(-x)^{4}}{4!}}+\cdots \right)\right\}}

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(2x+2\cdot {\frac {x^{3}}{3!}}+2\cdot {\frac {x^{5}}{5!}}+2\cdot {\frac {x^{7}}{7!}}+2\cdot {\frac {x^{9}}{9!}}+\cdots \right)=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {1}{2}}\left\{\left(1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {4^{2}}{4!}}+\cdots \right)+\left(1+(-x)+{\frac {(-x)^{2}}{2!}}+{\frac {(-x)^{3}}{3!}}+{\frac {(-x)^{4}}{4!}}+\cdots \right)\right\}}

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(2+2\cdot {\frac {x^{2}}{2!}}+2\cdot {\frac {x^{4}}{4!}}+2\cdot {\frac {x^{6}}{6!}}+2\cdot {\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \right)=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}

로그함수 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ln(1+x)}

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1}x^{n} \over n}=x-{x^{2} \over 2}+{x^{3} \over 3}-\cdots +(-1)^{n+1}{x^{n} \over n}+\cdots ,|x|<1} 일 때 수렴한다.

역탄젠트함수 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \tan ^{-1}x}

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \displaystyle \tan ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}x^{2n+1} \over 2n+1}=x-{x^{3} \over 3}+{x^{5} \over 5}-\cdots +(-1)^{n}{x^{2n+1} \over 2n+1}+\cdots ,-1<x\leq 1} 일 때 수렴한다.

증명

역탄젠트함수 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \tan ^{-1}x} 는 다음 등식이 성립한다. 해당 등식의 증명에 대해서는 아래 문단 참고

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \displaystyle \tan ^{-1}x=\int _{0}^{x}{\frac {1}{t^{2}+1}}\mathrm {d} t\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tan ^{-1}x={\frac {1}{x^{2}+1}}}

또한 무한등비급수의 성질 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}={\frac {a}{1-r}}\quad (-1<r<1)} 에 의해 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{t^{2}+1}}} 를 다음과 같이 쓸 수 있다.

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{t^{2}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-t^{2})^{n}=1-t^{2}+t^{4}-t^{6}+t^{8}-\cdots \quad (-1<t<1)}

양변을 t에 대하여 적분하면

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {1}{t^{2}+1}}\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}\left(1-t^{2}+t^{4}-t^{6}+t^{8}-\cdots \right)\mathrm {d} t=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+{\frac {x^{9}}{9}}-\cdots }

따라서 역탄젠트함수의 테일러 전개는 아래와 같다.

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \displaystyle \tan ^{-1}x=\int _{0}^{x}{\frac {1}{t^{2}+1}}\mathrm {d} t=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\cdot {\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}}

등식 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \displaystyle \tan ^{-1}x=\int _{0}^{x}{\frac {1}{t^{2}+1}}\mathrm {d} t} 의 증명

치환적분을 이용하여 해당 등식이 성립함을 증명할 수 있다.

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {1}{t^{2}+1}}\mathrm {d} t} 에서 $t$를 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle t=\tan \theta } 로 치환하면 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathrm {d} t=\sec ^{2}\theta \mathrm {d} \theta } 이므로 해당 정적분은 치환적분법에 의해 다음과 같이 된다.

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {1}{t^{2}+1}}\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\tan ^{2}\theta +1}}\sec ^{2}\theta \mathrm {d} \theta =\int _{0}^{x}1\mathrm {d} \theta =\left[\theta \right]_{0}^{x}}

여기서 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \theta =\tan ^{-1}t} 이므로

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \left[\theta \right]_{0}^{x}=\left[\tan ^{-1}t\right]_{0}^{x}=\tan ^{-1}x-\tan ^{-1}(0)=\tan ^{-1}x}

따라서 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {1}{t^{2}+1}}\mathrm {d} t=\tan ^{-1}x} 이다.

오차함수 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {erf} (x)}

오차함수(誤差函數, error function)의 정의는 다음과 같이 정의된다.

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\mathrm {d} t}

또한 오차함수의 테일러 전개는 아래와 같다.

$\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\cdot {\frac {x^{2n+1}}{n!}}$

증명

상술한 지수함수 $e^{x}$의 테일러 전개에 $x$대신 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle -t^{2}} 를 대입하면

$\displaystyle e^{-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-t^{2})^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {t^{2n}}{n!}}=1-t^{2}+{\frac {t^{4}}{2!}}-{\frac {t^{6}}{3!}}+{\frac {t^{8}}{4!}}-\cdots$

위 식을 t에 대하여 적분하면

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \displaystyle \int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\mathrm {d} t=\displaystyle \int _{0}^{x}\left(1-t^{2}+{\frac {t^{4}}{2!}}-{\frac {t^{6}}{3!}}+{\frac {t^{8}}{4!}}-\cdots \right)\mathrm {d} t=x-{\frac {1}{3}}\cdot x^{3}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {x^{5}}{2!}}-{\frac {1}{7}}\cdot {\frac {x^{7}}{3!}}+{\frac {1}{9}}\cdot {\frac {x^{9}}{4!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\cdot {\frac {x^{2n+1}}{n!}}}

따라서 오차함수의 테일러 전개는 아래와 같이 된다.

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\mathrm {d} t={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\cdot {\frac {x^{2n+1}}{n!}}}

해석함수

해석함수 문서를 참고하십시오.

모든 함수의 테일러 급수가 반드시 원본과 일치하는 것은 아니다. 예를 들어, 실수에서 정의된 함수

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right),&x>0\\0,&x\leq 0\end{cases}}}

는 임의의 $n\in \mathbb {N}$에 대해 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f^{(n)}(0)=0} 이므로 $f$의 매클로린 급수는 영함수가 되어 원본과 일치하지 않음을 알 수 있다.

이 문서의 출처는 리브레 위키의 테일러 급수 문서의 646207판입니다.