자이페르트-판 캄펀 정리

대수적 위상수학에서, 자이페르트-판 캄펀 정리(-定理, 영어: Seifert–van Kampen theorem)는 위상 공간의 기본군을 두 조각으로 쪼개어 계산할 수 있게 하는 정리이다.

정의

위상 공간 $X$ 및 두 부분 공간 $A,B\subseteq X$가 주어졌고, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

• $\mathrm{int}A\cup \mathrm{int}B=X$

또한, 부분 공간 $C\subseteq X$가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

• $A$ 또는 $B$ 또는 $A\cap B$의 임의의 경로 연결 성분과의 교집합은 공집합이 아니다.

그렇다면, 자이페르트-판 캄펀 정리에 따르면 다음 명제들이 성립한다.

• $C$는 $X$의 모든 경로 연결 성분들과 교차한다.
• 포함 관계에 의하여 유도되는 다음과 같은 기본 준군의 사상들은 준군 범주에서의 밂을 이룬다.

  $\begin{array}{ccc}{\Pi }_1(A\cap B,C)& \to & {\Pi }_1(A,C)\\ \downarrow & & \downarrow \\ {\Pi }_1(B,C)& \to & {\Pi }_1(X,C)\end{array}$

특히, $A$와 $B$가 경로 연결 공간이며, $C=\{c\}\subseteq A\cap B$는 한원소 집합이며, $A\cap B$는 공집합이 아닌 경로 연결 공간이라고 하자. 그렇다면 $X$는 경로 연결 공간(Path-connected Space)이며, 다음과 같은, 기본군의 (군의 범주에서의) 밂이 존재한다.

$\begin{array}{ccc}{\pi }_1(A\cap B,c)& \to & {\pi }_1(A,c)\\ \downarrow & & \downarrow \\ {\pi }_1(B,c)& \to & {\pi }_1(X,c)\end{array}$

증명

• 출처 : Allen Hacther, Algebraic Topology

다양한 증명방법이 있으나 여기서는 경로 연결 공간 두 개를 붙일 때만 생각한다. 세 개 이상일 때에는 모든 교집합 $A_{i_1}\cap \cdot \cdot \cdot A_{i_r}$들이 경로연결(Path-connected)을 보장해야 한다.

• 우선 집합 A, B, X의 기본군(Fundamental Group)에 의해 생성되는 준동형사상(homomorphism) ${\Phi }_X:{\pi }_1(A)\ast {\pi }_1(B)\to {\pi }_1(X)$가 전사(surjective)임을 보인다.

예

원

원 ${𝕊}^1=ℝ/\mathbb{Z}$에서,

$A=(-1/3,2/3)/\mathbb{Z}⊊{𝕊}^1$

$B=(1/3,4/3)/\mathbb{Z}⊊{𝕊}^1$

를 생각하자. 또한

$C=\{0,1/2\}/\mathbb{Z}⊊A\cap B$

라고 놓자. 그렇다면, $A$와 $B$ 및 $A\cap B$의 밑점 집합 $C$에서의 기본 준군은 다음과 같다. (항등 사상은 생략하였다.)

${\Pi }_1(A,C):\stackrel{0}{\bullet }\genfrac{}{}{0ex}{}{\stackrel{\varphi }{\to }}{\underset{{\varphi }^{-1}}{\overset{}{\leftarrow }}}\stackrel{1/2}{\bullet }$

${\Pi }_1(B,C):\stackrel{0}{\bullet }\genfrac{}{}{0ex}{}{\stackrel{\varphi {\text{'}}^{-1}}{\to }}{\underset{{\varphi }^{\prime }}{\overset{}{\leftarrow }}}\stackrel{1/2}{\bullet }$

${\Pi }_1(A\cap B,C):\stackrel{0}{\bullet }\stackrel{1/2}{\bullet }$

따라서, 원의 기본은 $A$와 $B$의 준군들의 쌍대곱이다. 이 경우 항등 사상이 아닌 사상 ${\varphi }^{\prime }\circ \varphi :0\to 0$이 존재하므로, $\mathrm{hom}(0,0)$ 및 $\mathrm{hom}(1/2,1/2)$ 둘 다 무한 순환군 $\mathbb{Z}$이다. $0$과 $1/2$는 ${\Pi }_1({𝕊}^1,\{0,1/2\})$에서 서로 동형이다. 따라서 ${𝕊}^1$의 기본군은 무한 순환군이다.

구

2차원 이상의 초구 ${𝕊}^n$에서, 세 개의 서로 다른 점 $a,b,c\in {𝕊}^n$를 잡고,

$A={𝕊}^n\setminus \{a\}$

$B={𝕊}^n\setminus \{b\}$

로 놓자. 그렇다면 $A$와 $B$ 둘 다 $n$차원 유클리드 공간 ${ℝ}^n$과 위상 동형이며, 특히 축약 가능 공간이다. $A\cap B$는 기둥 ${𝕊}^{n-1}\times ℝ$와 위상 동형이다.

자이페르트-판 캄펀 정리에 따라, 다음이 성립한다.

${\pi }_1({𝕊}^n,c)={\pi }_1(A,c){*}_{{\pi }_1(A\cap B,c)}{\pi }_1(B,c)$

그런데 ${\pi }_1(A)$와 ${\pi }_1(B)$ 둘 다 자명군이므로, ${\pi }_1({𝕊}^n)$ 역시 자명군이다.

역사

헤르베르트 자이페르트틀:Rp틀:Rp와 에흐베르튀스 판 캄펀이 증명하였다. 로널드 브라운(영어: Ronald Brown)이 이를 기본 준군에 대하여 일반화하였다.

각주

• Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (English). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “van Kampen's theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (English). Wolfram Research. 

• 틀:Nlab
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• 틀:Nlab
• “Seifert-van Kampen theorem”. 《Topospaces》 (English). 

• Tao, Terrence (2012년 10월 28일). “van Kampen’s theorem via covering spaces”. 《What’s New》 (English). 

• “Generalisations of the Seifert-van Kampen Theorem?” (English). Math Overflow. 

• “What was Seifert's contribution to the Seifert-van Kampen theorem?” (English). Math Overflow. 

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