타원적분

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개요

이번에는 타원의 둘레의 길이를 구하는 방법에 대해 알아봅시다.

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
$x^2+\frac{a^2{y}^2}{b^2}=a^2$
$b^2{x}^2+a^2{y}^2=a^2{b}^2$
$a^2{y}^2=a^2{b}^2-b^2{x}^2$
$y^2=b^2-\frac{b^2}{a^2}{x}^2$
$y=\pm \sqrt{b^2-\frac{b^2}{a^2}{x}^2}$
$y=\sqrt{u},u=b^2-\frac{b^2}{a^2}{x}^2$
$\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$
$\frac{-\frac{2b^{2}x}{a^2}}{2\sqrt{u}}$
$\frac{-2b^{2}x}{2a^2\sqrt{u}}$
$\frac{-b^{2}x}{a^2\sqrt{u}}$
$\frac{-b^{2}x}{a^2\sqrt{b^2-\frac{b^2}{a^2}{x}^2}}$
$\frac{b^4{x}^2}{a^4(b^2-\frac{b^2}{a^2}{x}^2)}$
$1+\frac{b^4{x}^2}{a^4(b^2-\frac{b^2}{a^2}{x}^2)}$
$1+\frac{b^4{x}^2}{a^4{b}^2-a^2{b}^2{x}^2}$
$\frac{a^4{b}^2-a^2{b}^2{x}^2}{a^4{b}^2-a^2{b}^2{x}^2}+\frac{b^4{x}^2}{a^4{b}^2-a^2{b}^2{x}^2}$
$\underset{-a}{\overset{a}{\int }}\frac{a^4{b}^2-a^2{b}^2{x}^2+b^4{x}^2}{a^4{b}^2-a^2{b}^2{x}^2}dx$
$2\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{a^4{b}^2-a^2{b}^2{x}^2+b^4{x}^2}{a^4{b}^2-a^2{b}^2{x}^2}dx$
아랫부분까지 합치면,
$4\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{a^4{b}^2-a^2{b}^2{x}^2+b^4{x}^2}{a^4{b}^2-a^2{b}^2{x}^2}dx$
$4\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{a^4{b}^2-a^2{b}^2{x}^2+b^4{x}^2}{a^4{b}^2-a^2{b}^2{x}^2}dx$
$4\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{a^4-a^2{x}^2+b^2{x}^2}{a^4-a^2{x}^2}dx$
$4a\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{a^2-x^2+\frac{b^2}{a^2}{x}^2}{a^2-x^2}dx$
$x=a\sin t=g\left(t\right)$
$0=a\sin \alpha$
$0=\sin \alpha$
$0=\alpha$
$a=a\sin \beta$
$1=\sin \beta$
$\frac{\pi }{2}=\beta$
$g^{\prime }\left(t\right)=a\cos t$
$4a\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{\frac{a^2-{(a\sin t)}^2+\frac{b^2}{a^2}{(a\sin t)}^2}{a^2-{(a\sin t)}^2}}\cos tdt$
$4a\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{\frac{a^2-a^2{\sin }^{2}t+\frac{b^2}{a^2}\left(a^2{\sin }^{2}t\right)}{a^2-\left(a^2{\sin }^{2}t\right)}}\cos tdt$
$4a\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{\frac{a^2-a^2{\sin }^{2}t+b^2{\sin }^{2}t}{a^2(1-{\sin }^{2}t)}}\cos tdt$
$4a\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{\frac{a^2-a^2{\sin }^{2}t+b^2{\sin }^{2}t}{a^2{\cos }^{2}t}}\cos tdt$
$4a\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{\frac{a^2-a^2{\sin }^{2}t+b^2{\sin }^{2}t}{a^2{\cos }^{2}t}}\cos tdt$
$4a\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{\frac{1-{\sin }^{2}t+\frac{b^2}{a^2}{\sin }^{2}t}{{\cos }^{2}t}}\cos tdt$
$4a\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{1-{\sin }^{2}t+\frac{b^2}{a^2}{\sin }^{2}t}dt$
$4a\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{1+(\frac{b^2}{a^2}-1){\sin }^{2}t}dt$
$4a\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{1-(1-\frac{b^2}{a^2}){\sin }^{2}t}dt$
이는 제2종 타원 적분 문서에서 나온 정의를 적용해서,
$4aE(\frac{\pi }{2},1-\frac{b^2}{a^2})$ 으로 표현 가능 합니다.

근사식

위 적분은 너무 어려우므로 근사식이 있다.

$L\approx \frac{5\pi (a+b)}{4}-\frac{ab\pi }{a+b}$ 이다.