작은숲:Sudo위키/케플러 행성운동 법칙

케플러 행성운동법칙 (Kepler 行星運動法則, Kepler's laws of planetary motion) 은 독일의 천문학자 요하네스 케플러가 발표한 행성의 운동에 관한 물리학 법칙입니다.

제1법칙

행성운동 제1법칙은 아래와 같이 기술할 수 있습니다.

행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원궤도를 그리면서 공전한다.

행성의 궤도를 태양이 중심에 있는 극좌표계 $(r, θ)$ 로 생각하면 아래와 같은 간단한 수식으로 제1법칙을 나타낼 수 있습니다.

ϵ \equiv \sqrt{1 + (\frac{2 E L^{2}}{m α})}

α \equiv G M m

)

L

: 행성의 각운동량

M

: 초점에 위치한 항성의 질량

m

: 행성의 질량

E

G

파일:행성운동 제2법칙.png

행성운동 제2법칙은 아래와 같이 기술할 수 있습니다.

행성과 태양을 연결하는 가상의 선분이 같은 시간 동안 쓸고 지나가는 면적은 항상 같다.

수학적인 방식으로 나타내자면, 면적 속도는 아래와 같습니다.

\dot{S} = \frac{1}{2} r^{2} \dot{θ}

제2법칙은 면적속도의 값이 일정하다는 뜻이며, 행성의 공전 속도 $𝐯$ 를 사용하여

𝐫 \times 𝐯 = const

와 같이 나타낼 수도 있습니다. 여기에서 $const$ 는 일정하다는 의미입니다.

이 값은 행성의 각운동량에 비례하기 때문에 제2법칙을 각운동량 보존 법칙으로부터 유도할 수 있습니다.

행성운동 제3법칙은 아래와 같이 기술할 수 있습니다.

행성의 공전주기의 자승은 궤도의 장반경의 3승에 비례한다.

제3법칙을 수식을 통해 표현하자면 아래와 같습니다.

T^{2} \propto a^{3}

여기에서 $T$ 는 공전 주기를 의미하며, $a$ 는 공전 궤도의 장반경입니다.

비례 관계를 좀 더 명확하게 표현하면,

T^{2} = \frac{4 π^{2}}{G (M + m)} a^{3}

이 됩니다. 여기에서 $G$ 는 중력 상수, $M$ 은 초점에 위치한 항성의 질량, $m$ 은 행성의 질량입니다.

태양계의 행성은 항성인 태양에 비해 질량이 훨씬 작기 때문에 $M > m$ 이고, 그에 따라 아래와 같은 근사로 표현할 수 있습니다.

T^{2} ≃ \frac{4 π^{2}}{G M} a^{3}