작은숲:Sudo위키/케플러 행성운동 법칙

케플러 행성운동법칙 (Kepler 行星運動法則, Kepler's laws of planetary motion) 은 독일의 천문학자 요하네스 케플러가 발표한 행성의 운동에 관한 물리학 법칙입니다.

제1법칙

행성운동 제1법칙은 아래와 같이 기술할 수 있습니다.

행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원궤도를 그리면서 공전한다.

행성의 궤도를 태양이 중심에 있는 극좌표계 $(r,\;\theta )$ 로 생각하면 아래와 같은 간단한 수식으로 제1법칙을 나타낼 수 있습니다.

\epsilon \equiv {\sqrt {1+\left({2EL^{2} \over m\alpha }\right)}}

\alpha \equiv GMm

)

L

: 행성의 각운동량

M

: 초점에 위치한 항성의 질량

m

: 행성의 질량

E

G

파일:행성운동 제2법칙.png

행성운동 제2법칙은 아래와 같이 기술할 수 있습니다.

행성과 태양을 연결하는 가상의 선분이 같은 시간 동안 쓸고 지나가는 면적은 항상 같다.

수학적인 방식으로 나타내자면, 면적 속도는 아래와 같습니다.

{\dot {S}}={1 \over 2}r^{2}{\dot {\theta }}

제2법칙은 면적속도의 값이 일정하다는 뜻이며, 행성의 공전 속도 $\mathbf {v}$ 를 사용하여

\mathbf {r} \times \mathbf {v} ={\textrm {const}}

와 같이 나타낼 수도 있습니다. 여기에서 ${\textrm {const}}$ 는 일정하다는 의미입니다.

이 값은 행성의 각운동량에 비례하기 때문에 제2법칙을 각운동량 보존 법칙으로부터 유도할 수 있습니다.

행성운동 제3법칙은 아래와 같이 기술할 수 있습니다.

행성의 공전주기의 자승은 궤도의 장반경의 3승에 비례한다.

제3법칙을 수식을 통해 표현하자면 아래와 같습니다.

T^{2}\propto a^{3}

여기에서 $T$ 는 공전 주기를 의미하며, $a$ 는 공전 궤도의 장반경입니다.

비례 관계를 좀 더 명확하게 표현하면,

T^{2}={4\pi ^{2} \over G(M+m)}a^{3}

이 됩니다. 여기에서 $G$ 는 중력 상수, $M$ 은 초점에 위치한 항성의 질량, $m$ 은 행성의 질량입니다.

태양계의 행성은 항성인 태양에 비해 질량이 훨씬 작기 때문에 $M>m$ 이고, 그에 따라 아래와 같은 근사로 표현할 수 있습니다.

T^{2}\simeq {4\pi ^{2} \over GM}a^{3}