작은숲:Sudo위키/슈뢰딩거 방정식

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi$

슈뢰딩거 방정식 (슈뢰딩거方程式, Schrödinger equation) 은 양자 역학적 계의 시간에 따른 변화를 나타내는 선형 편미분 방정식입니다. 1925년에 오스트리아의 물리학자 에르빈 슈뢰딩거가 발표하였으며, 양자 역학에서 중요한 방정식 중 하나입니다.

설명

1차원에서 퍼텐셜 에너지가 $V$인 공간에 존재하는, 질량이 $m$인 입자의 물질파가 만족하는 방정식은 아래와 같습니다.

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi$

이 방정식은 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식이라고 불리며, $\psi$는 파동 함수를 뜻합니다.

퍼텐셜 에너지 $V$가 시간에 무관할 때에는 슈뢰딩거 방정식은 아래와 같은 파동 함수로 풀 수 있습니다.

$\psi (x,t)=\psi (x)e^{-iEt/\hbar }$

여기에서 $E$는 입자가 가진 에너지를 뜻하며, 이 파동 함수를 슈뢰딩거 방정식에 대입하면 아래와 같은 식을 얻을 수 있습니다.

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi =E\psi$

이것을 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식이라고 하며, 이 파동 함수의 자승은 확률 밀도 함수로 해석됩니다.

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