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삼각함수 (三角函數, Trigonometric function) 는 직각삼각형의 각을 변들의 길이의 비로 나타내는 함수입니다.

개요

삼각함수는 직각삼각형의 각을 변들의 길이의 비로 나타내는 함수입니다. 가장 기본적인 주기함수로, 다양한 주기적 현상을 다룰 때 푸리에 급수의 형태로 등장합니다.

삼각함수에는 3개의 기본 함수가 있으며, 각각 사인 (sine, $\sin$) · 코사인 (cosine, $\cos$) · 탄젠트 (tangent, $\tan$) 입니다. 그리고 이 세 가지 함수의 역수가 각각 코시컨트 (cosecant, $\csc$) · 시컨트 (secant, $\sec$) · 코탄젠트 (cotangent, $\cot$)라고 합니다.

정의

기하학적 정의

각 C가 직각인 삼각형 ABC에서, 각 A, B, C의 대변의 길이를 $a,b,h$라고 할 때, 사인, 코사인, 탄젠트의 정의는 아래와 같습니다.

사인 : $\sin A=\frac{a}{h}$

코사인 : $\cos A=\frac{b}{h}$

탄젠트 : $\tan A=\frac{a}{b}$

그리고 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트는 위의 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의됩니다.

코시컨트: $\csc A=\frac{h}{a}=\frac{1}{\sin A}$

시컨트: $\sec A=\frac{h}{b}=\frac{1}{\cos A}$

코탄젠트: $\cot A=\frac{b}{a}=\frac{1}{\tan A}$

단위원 정의

파일:삼각함수 단위원 정의.png

좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원인 단위원을 이용하여 삼각함수를 정의할 수 있습니다. 단위원 위의 점 $(x,y)$에 대해, $x$축과 점과 원점을 잇는 직선 사이의 각을 $\theta$ 라디안이라고 하면, 사인과 코사인은 아래와 같이 정의됩니다.

$\sin \theta =y$

$\cos \theta =x$

이에 따라 다른 삼각함수들은 아래와 같이 정의됩니다.

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$

$\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }$

$\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta }$

$\cot \theta =\frac{1}{\tan \theta }=\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$

공식

덧셈 정리

• $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$
• $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$
• $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$
• $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$
• $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$
• $\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$

증명

삼각함수의 덧셈 정리는 좌표평면 위의 단위원을 통해 증명할 수 있습니다. 우선 단위원을 그린 다음, $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 각각 $\alpha ,\beta$인 두 동경이 단위원과 만나는 점을 각각 $P,Q$라 합니다.

코사인 덧셈 정리

두 점 $P,Q$의 좌표는 각각 $P(\cos \alpha ,\sin \alpha ),Q(\cos \beta ,\sin \beta )$인데, 여기에서 두 점 사이의 거리를 구하는 공식을 사용하면

$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{PQ}}=(\cos \beta -\cos \alpha {)}^2+(\sin \beta -\sin \alpha {)}^2$

이 됩니다. 이것은 다시

$=({\cos }^2\beta +{\sin }^2\beta )+({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha )-2(\cos \beta \cos \alpha +\sin \beta \cos \alpha )$

가 되며, 이것은

$=2-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )$

으로 정리할 수 있습니다.

여기에서 $\overline{OP}=\overline{OQ}=1$이며 $\mathrm{\angle }POQ=\alpha -\beta$이므로 제2 코사인 법칙을 활용하면

$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{PQ}}=1^2+1^2-2\times 1\times 1\times \cos (\alpha -\beta )=2-2\cos (\alpha -\beta )$입니다.

따라서, 아래와 같은 덧셈 정리가 성립합니다.

$\therefore \cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

이 과정에서 $\beta$ 대신에 $-\beta$를 집어넣으면

$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

와 같은 식을 얻을 수 있습니다.

사인 덧셈 정리

또한, $\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )=\cos \theta ,\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )=\sin \theta$ 임을 이용하여 아래와 같이 $\sin (\alpha \pm \beta )$를 유도할 수 있습니다.

$\sin (\alpha +\beta )=\cos \{\frac{\pi }{2}-(\alpha +\beta )\}=\cos \{(\frac{\pi }{2}-\alpha )-\beta )\}$

$=\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )\cos \beta +\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )\sin \beta =\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\therefore \sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

여기에 $\beta$ 대신 $-\beta$를 집어넣고 정리하면

$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

이 됩니다.

탄젠트 덧셈 정리

$\tan$ 덧셈 정리를 증명하기 위해서는 $\sin$과 $\cos$ 덧셈 정리를 사용하는 것이 간편합니다.

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos (\alpha +\beta )}=\frac{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }$

여기에서 분모와 분자를 $\cos \alpha \cos \beta$로 나누면

$\frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }+\frac{\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}{1-\frac{\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}$

$\therefore \tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$

여기에 $\beta$ 대신 $-\beta$를 집어넣고 정리하면

$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$

배각 공식

2배각

• $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$
• $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$
• $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$

3배각

• $\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha$
• $\cos 3\alpha =4{\cos }^3\alpha -3\cos \alpha$

반각 공식

• ${\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{2}$
• ${\cos }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{2}$
• ${\tan }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }$

합/차 공식

곱을 합/차로 변형

• $\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )\}$
• $\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}\{\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )\}$
• $\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\{\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )\}$
• $\sin \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2}\{\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )\}$

합/차를 곱으로 변형

$\alpha +\beta =A,\alpha -\beta =B$로 놓으면 아래의 공식이 성립합니다.

• $\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$
• $\sin A-\sin B=2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$
• $\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$
• $\cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$