작은숲:Sudo위키/사용자:Kyosu7/lab

삼각함수의 덧셈 정리는 좌표평면 위의 단위원을 통해 증명할 수 있습니다. 우선 단위원을 그린 다음, $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 각각 $α, β$ 인 두 동경이 단위원과 만나는 점을 각각 $P, Q$ 라 합니다.

두 점 $P, Q$ 의 좌표는 각각 $P (\cos α, \sin α), Q (\cos β, \sin β)$ 인데, 여기에서 두 점 사이의 거리를 구하는 공식을 사용하면

\overset{2}{\overline{P Q}} = (\cos β - \cos α)^{2} + (\sin β - \sin α)^{2}

이 됩니다. 이것은 다시

= (\cos^{2} β + \sin^{2} β) + (\cos^{2} α + \sin^{2} α) - 2 (\cos β \cos α + \sin β \cos α)

가 되며, 이것은

= 2 - 2 (\cos α \cos β + \sin α \sin β)

으로 정리할 수 있습니다.

여기에서 $\overline{O P} = \overline{O Q} = 1$ 이며 $∠ P O Q = α - β$ 이므로 제2 코사인 법칙을 활용하면

\overset{2}{\overline{P Q}} = 1^{2} + 1^{2} - 2 \times 1 \times 1 \times \cos (α - β) = 2 - 2 \cos (α - β)

입니다.

따라서, 아래와 같은 덧셈 정리가 성립합니다.

∴ \cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β

이 과정에서 $β$ 대신에 $- β$ 를 집어넣으면

\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β

와 같은 식을 얻을 수 있습니다.

또한, $\sin (\frac{π}{2} - θ) = \cos θ, \cos (\frac{π}{2} - θ) = \sin θ$ 임을 이용하여 아래와 같이 $\sin (α \pm β)$ 를 유도할 수 있습니다.

\sin (α + β) = \cos {\frac{π}{2} - (α + β)} = \cos {(\frac{π}{2} - α) - β)}

= \cos (\frac{π}{2} - α) \cos β + \sin (\frac{π}{2} - α) \sin β = \sin α \cos β + \cos α \sin β

∴ \sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β

여기에 $β$ 대신 $- β$ 를 집어넣고 정리하면

\sin (α - β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β

이 됩니다.

$\tan$ 덧셈 정리를 증명하기 위해서는 $\sin$ 과 $\cos$ 덧셈 정리를 사용하는 것이 간편합니다.

\tan (α + β) = \frac{\sin (α + β)}{\cos (α + β)} = \frac{\sin α \cos β + \cos α \sin β}{\cos α \cos β - \sin α \sin β}

여기에서 분모와 분자를 $\cos α \cos β$ 로 나누면

\frac{\frac{\sin α \cos β}{\cos α \cos β} + \frac{\cos α \sin β}{\cos α \cos β}}{1 - \frac{\sin α \sin β}{\cos α \cos β}}

∴ \tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β}

여기에 $β$ 대신 $- β$ 를 집어넣고 정리하면

\tan (α - β) = \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \tan β}