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다항식 (多項式, 틀:En) 은 대수학에서 중요하게 다루는 개념입니다. 쉽게 말하자면 여러 항들이 있는 식입니다.

설명

항

다항식을 이해하려면 우선 항과 단항식을 알아야 합니다. 항이라고 하는 것은 수나 문자의 곱으로만 이루어진 식을 뜻합니다. 예컨대
$-2x$ 나
$-1$ 같은 것들이 항입니다.

단항식

이러한 항을 하나만 가지고 있는 식을 단항식이라고 합니다. 예컨대
$1/4a$ 나
$3x^{2}y$ 같은 것이 단항식입니다. 위에서 항을 설명할 때 사용한 예시도 단항식이라고 여길 수 있습니다.

다항식

1개 이상의 항을 합한 것을 다항식이라고 합니다. 예컨대
$3x^{2}+7y$ 나
$-3x+6xy^{2}$ 같은 것들이 다항식입니다. 위에서 언급한 단항식도 다항식 중에서 항이 1개인 경우로 간주하기 때문에, 단항식을 들고 다항식이라고 해도 아무도 시비를 걸지 않습니다.

다항식의 연산

다항식의 연산에는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙을 사용할 수 있습니다. 따라서 우리가 흔히 다루는 수처럼 다뤄주면 됩니다. 처음에는 난감하지만 우리가 $37+5$ 같은 식을 쉽게 생각하는 것처럼, 많이 연습하다보면 어느새 다항식의 연산이 익숙해질 것입니다.

덧셈

다항식의 덧셈을 할 때는 우선 다항식의 순서를 정리해야 합니다. 예컨대

-3x+2x^{2}+42

같은 식은, $x$ 를 기준으로 해서

2x^{2}-3x+42

로 정리할 수 있습니다. 쉽게 말하자면 어떤 문자가 몇 번 곱해졌는지 생각해보고 그 문자를 기준으로 더 많이 곱해진 항을 앞쪽에, 더 적은 항을 뒷쪽에, 그 문자가 아예 없는 항을 마지막에 쓴다고 할 수 있습니다. 참고로 이런 순서를 내림차순이라고 하는데, 반대로 한 문자를 기준으로 적게 곱해진 것부터 많이 곱해진 것의 순서로 배열하는 것은 오름차순이라고 합니다.

이렇게 정리를 한 다음에 더하려고 하는 두 다항식에서 똑같은 문자가 똑같이 곱해진 항들을 골라냅니다. 예컨대
$-2x^{2}$ 과 $+5x^{2}$ 같은 항들이 보이면 둘을 골라내서 계산하라는 뜻입니다.
그런 항이 없으면 그냥 그대로 두면 됩니다. 이렇게 해서 김대기처럼 적절한 계산을 하여 그 답을 쓰면 다항식의 덧셈이라는 기술은 이제 당신의 것입니다. 당신 마음대로 다항식의 덧셈을 할 수 있는 겁니다.

예시

예시를 하나 보여드리겠습니다. 일단 식은 아래와 같습니다.

(3x^{3}+4x^{2}+10)+(2x^{2}-3x-7)

편리하게도 식이 $x$ 에 대해 내림차순으로 정리되어 있군요. 이 식을 적은 사람이 참으로 배려심이 깊다고 할 수 있겠네요.
그럼 이제 $x$ 가 몇 번 곱해져있나 확인하고 각 항들을 따로 골라내도록 하겠습니다.

3번 곱해짐 : $3x^{3}$
2번 곱해짐 : $+4x^{2},+2x^{2}$
1번 곱해짐 : $-3x$
아예 곱해진 게 없는 불쌍한 항들 : $+10,-7$

이때, $x$ 가 3번 곱해진 $3x^{3}$ 와 1번 곱해진 $-3x$ 는 똑같은 회수만큼 곱해진 것이 없으므로 그냥 적으면 됩니다. 2번 곱해진 $+4x^{2}$ 와 $+2x^{2}$ 를 더하면 $+6x^{2}$ 가 되고, 아예 곱해지지 않은 불쌍한 항들을 더하면 $+3$ 이 되는군요. 이것을 순서대로 적으면 아래와 같습니다.