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다항식 (多項式, 틀:En) 은 대수학에서 중요하게 다루는 개념입니다. 쉽게 말하자면 여러 항들이 있는 식입니다.

설명

항

다항식을 이해하려면 우선 항과 단항식을 알아야 합니다. 항이라고 하는 것은 수나 문자의 곱으로만 이루어진 식을 뜻합니다. 예컨대
$- 2 x$ 나
$- 1$ 같은 것들이 항입니다.

단항식

이러한 항을 하나만 가지고 있는 식을 단항식이라고 합니다. 예컨대
$1 / 4 a$ 나
$3 x^{2} y$ 같은 것이 단항식입니다. 위에서 항을 설명할 때 사용한 예시도 단항식이라고 여길 수 있습니다.

다항식

1개 이상의 항을 합한 것을 다항식이라고 합니다. 예컨대
$3 x^{2} + 7 y$ 나
$- 3 x + 6 x y^{2}$ 같은 것들이 다항식입니다. 위에서 언급한 단항식도 다항식 중에서 항이 1개인 경우로 간주하기 때문에, 단항식을 들고 다항식이라고 해도 아무도 시비를 걸지 않습니다.

다항식의 연산

다항식의 연산에는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙을 사용할 수 있습니다. 따라서 우리가 흔히 다루는 수처럼 다뤄주면 됩니다. 처음에는 난감하지만 우리가 $37 + 5$ 같은 식을 쉽게 생각하는 것처럼, 많이 연습하다보면 어느새 다항식의 연산이 익숙해질 것입니다.

덧셈

다항식의 덧셈을 할 때는 우선 다항식의 순서를 정리해야 합니다. 예컨대

- 3 x + 2 x^{2} + 42

같은 식은, $x$ 를 기준으로 해서

2 x^{2} - 3 x + 42

로 정리할 수 있습니다. 쉽게 말하자면 어떤 문자가 몇 번 곱해졌는지 생각해보고 그 문자를 기준으로 더 많이 곱해진 항을 앞쪽에, 더 적은 항을 뒷쪽에, 그 문자가 아예 없는 항을 마지막에 쓴다고 할 수 있습니다. 참고로 이런 순서를 내림차순이라고 하는데, 반대로 한 문자를 기준으로 적게 곱해진 것부터 많이 곱해진 것의 순서로 배열하는 것은 오름차순이라고 합니다.

이렇게 정리를 한 다음에 더하려고 하는 두 다항식에서 똑같은 문자가 똑같이 곱해진 항들을 골라냅니다. 예컨대
$- 2 x^{2}$ 과 $+ 5 x^{2}$ 같은 항들이 보이면 둘을 골라내서 계산하라는 뜻입니다.
그런 항이 없으면 그냥 그대로 두면 됩니다. 이렇게 해서 김대기처럼 적절한 계산을 하여 그 답을 쓰면 다항식의 덧셈이라는 기술은 이제 당신의 것입니다. 당신 마음대로 다항식의 덧셈을 할 수 있는 겁니다.

예시

예시를 하나 보여드리겠습니다. 일단 식은 아래와 같습니다.

(3 x^{3} + 4 x^{2} + 10) + (2 x^{2} - 3 x - 7)

편리하게도 식이 $x$ 에 대해 내림차순으로 정리되어 있군요. 이 식을 적은 사람이 참으로 배려심이 깊다고 할 수 있겠네요.
그럼 이제 $x$ 가 몇 번 곱해져있나 확인하고 각 항들을 따로 골라내도록 하겠습니다.

3번 곱해짐 : $3 x^{3}$
2번 곱해짐 : $+ 4 x^{2}, + 2 x^{2}$
1번 곱해짐 : $- 3 x$
아예 곱해진 게 없는 불쌍한 항들 : $+ 10, - 7$

이때, $x$ 가 3번 곱해진 $3 x^{3}$ 와 1번 곱해진 $- 3 x$ 는 똑같은 회수만큼 곱해진 것이 없으므로 그냥 적으면 됩니다. 2번 곱해진 $+ 4 x^{2}$ 와 $+ 2 x^{2}$ 를 더하면 $+ 6 x^{2}$ 가 되고, 아예 곱해지지 않은 불쌍한 항들을 더하면 $+ 3$ 이 되는군요. 이것을 순서대로 적으면 아래와 같습니다.

3 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x + 3

뺄셈

다항식의 뺄셈 역시 덧셈과 같은 원리로 식을 정리한 다음에 적절하게 계산하면 됩니다.

예시

예컨대

(3 x^{3} + 4 x^{2} + 10) - (2 x^{2} - 3 x - 7)

와 같은 연산을 한다고 생각해봅시다.

괄호를 풀면

3 x^{3} + 4 x^{2} + 10 - 2 x^{2} + 3 x + 7

이 됩니다. 동류항끼리 계산하면

3 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 17

이 됩니다.

곱셈

다항식의 곱셈은 지수 법칙과 분배 법칙을 활용하여 계산하면 됩니다. 크게 보자면 단항식과 다항식의 곱, 다항식과 다항식의 곱이라는 두 가지 유형이 있는데, 이러한 곱셈을 하나의 다항식으로 나타내는 것을 전개한다 라고 표현합니다.

예시

예컨대

3 x (5 x^{3} + 3 x^{2} + 2)

라는 식을 생각해봅시다. 이 식은 단항식 $3 x$ 와 다항식 $(5 x^{3} + 3 x^{2} + 2)$ 의 곱입니다. 이것을 전개하면

3 x \times 5 x^{3} + 3 x \times 3 x^{2} + 3 x \times 2

가 되며, 각각의 곱셈을 하면

15 x^{4} + 9 x^{3} + 6 x

이라는 다항식을 얻을 수 있습니다.

이제 다항식과 다항식의 곱 형태로 되어 있는 것을 생각해봅시다.

(x^{2} + 2) (3 x^{2} - 6 x + 7)

이 식은 다항식 $(x^{2} + 2)$ 와 다항식 $(3 x^{2} - 6 x + 7)$ 의 곱입니다. 분배 법칙을 이용하여 전개하면 아래와 같이 됩니다.

x^{2} (3 x^{2} - 6 x + 7) + 2 (3 x^{2} - 6 x + 7)

이것을 다시 정리하면

3 x^{4} - 6 x^{3} + 7 x^{2} + 6 x^{2} - 12 x + 14

가 되며, 이것을 다시 동류항끼리 묶어서 계산하면 아래와 같은 다항식을 얻을 수 있습니다.

3 x^{4} - 6 x^{3} + 13 x^{2} - 12 x + 14

나눗셈

다항식의 나눗셈은 크게 다항식을 단항식으로 나누는 경우와 다항식을 다항식으로 나누는 경우로 구분하여 생각할 수 있습니다.

다항식 나누기 단항식

다항식을 단항식으로 나누는 경우, 아래와 같이 일반적인 경우를 기억하면 쉽습니다.

(X + Y) \div Z = (X + Y) \times \frac{1}{Z} = \frac{X}{Z} + \frac{Y}{Z}

여기에서 $X, Y, Z$ 는 단항식이며, $Z \neq 0$ 입니다.

예시

예컨대

(3 x^{3} + 9 x^{2} - 10 x) \div 3 x

와 같은 식을 생각해봅시다.

이 식은 아래와 같이 변형할 수 있습니다.

\frac{3 x^{3}}{3 x} + \frac{9 x^{2}}{3 x} - \frac{10 x}{3 x}

이를 정리하면

x^{2} + 3 x - \frac{10}{3}

이 됩니다.

다항식 나누기 다항식

어떤 다항식 $A$ 를 다항식 $B$ 로 나눌 때, 몫을 $Q$ 라 하고 나머지를 $R$ 이라 하면 아래의 식이 성립합니다.

A = B Q + R

이때 나머지 $R$ 은 몫 $Q$ 보다 차수가 낮으며, $R = 0$ 인 경우에는 $A$ 는 $B$ 로 나누어 떨어진다 라는 표현을 사용합니다.