작은숲:Sudo위키/곱셈 공식

곱셈 공식 (곱셈公式) 은 다항식의 계산을 쉽게 수행하는 데에 도움이 되는 공식들입니다.

개요

곱셈 공식은 다항식의 계산을 쉽게 하는 데에 도움이 되는 공식들로, 주로 중학교 교과과정과 고등학교 교과과정에서 다룹니다. 곱셈 공식은 이해보다는 암기가 중요한 부분이기 때문에 상당한 스트레스를 유발합니다. 그렇지만 많이 연습하다보면 익숙해지고, 부분적으로는 응용을 통해서 즉석에서 유도할 수 있기 때문에 어느 정도의 숙련을 거치면 별 무리가 없을 것입니다.

그 외

곱셈 공식의 과정을 거꾸로 하면 인수 분해 공식이 되는데, 이런 경우에는 쉽게 찾기가 어렵기에 곱셈 공식의 암기와 병행하여 숙련할 필요가 있습니다.

공식 중에서 $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ 는 파스칼의 삼각형과 관련이 있습니다.

목록

2차식

• $m(a\pm b)=ma\pm mb$
• $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
• $(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$
• $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
• $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
• $(ax+b)(cx+d)=ac{x}^2+(ad+bc)x+bd$
• $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$

3차식

• $(x\pm a)(x\pm b)(x\pm c)=x^3\pm (a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x\pm abc$
• $(a\pm b{)}^3=a^3\pm 3a^{2}b+3a{b}^2\pm b^3$
• $(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3$
• $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc$
• $\frac{1}{2}(a+b+c)\{(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2\}=a^3+b^3+c^3-3abc$

4차식

• $(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)=a^4+a^2{b}^2+b^4$

곱셈 공식의 변형

곱셈 공식의 변형은 위의 곱셈 공식들을 변형한 공식들로, 이 공식들을 사용하면 특정한 모양의 값을 쉽게 구할 수 있습니다.

2차식

• $a^2+b^2=(a\pm b{)}^2\mp 2ab$
• $(a+b{)}^2-(a-b{)}^2=4ab$
• $x^2\pm \frac{1}{x^2}={(x\pm \frac{1}{x})}^2\mp 2$
• ${(x+\frac{1}{x})}^2-{(x-\frac{1}{x})}^2=4$
• $a^2+b^2+c^2=(a+b+c{)}^2-2(ab+bc+ca)$
• $a^2+b^2+c^2\pm ab\pm bc\pm ca=\frac{1}{2}\{(a\pm b{)}^2+(b\pm c{)}^2+(c\pm a{)}^2\}$

3차식

• $a^3\pm b^3=(a\pm b{)}^3\mp 3ab(a\pm b)$
• $x^3\pm \frac{1}{x^3}={(x\pm \frac{1}{x})}^3\mp 3(x\pm \frac{1}{x})$
• $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc$

※단, 여기에서 $a+b+c=0$ 이면 $a^3+b^3+c^3=3abc$ 입니다.

4차식

• $(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)=a^4+a^2{b}^2+b^4$
• $(x^2+x+1)(x^2-x+1)=x^4+x^2+1$
• $a^4+b^4=(a^2+b^2{)}^2-2a^2{b}^2$
• $a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2{)}^2-2\{(ab+bc+ca{)}^2-2abc(a+b+c)\}$

고차식

• $a^5+b^5=(a^2+b^2)(a^3+b^3)-a^2{b}^2(a+b)$
• $a^6+b^6=(a^3+b^3{)}^2-2a^3{b}^3$
• $a^7+b^7=(a^3+b^3)(a^4+b^4)-a^3{b}^3(a+b)$

도보기

• 인수 분해