작은숲:ITDBWiki/리 군의 근원군

정리

리 군(Lie Group)의 근원군(Fundamental group)은 가환군(Abelian)입니다.

증명

우선 G를 리 군이라 놓고, 점 $e$를 리 군의 항등원(identity)라 놓습니다. 리 군의 경우 단순히 원소를 곱해서 평행이동을 유도할 수 있기에

그러면 점 e를 출발점으로 하는 닫힌 경로(loop)

$\sigma ,\tau :[0,1]\to G$에 대해 경로곱 

$\sigma \cdot \tau ,\tau \cdot \sigma$와 두 경로의의 군 연산에 의해 생성되는 경로 $\rho (t)=\sigma (t)\tau (t)$가 호모토피(Homotopy)함을 보이면 됩니다.

호모토피를 다음과 같이 잡고

구문 분석 실패 (알 수 없는 함수 "\begin{cases}"): {\displaystyle P(s,t)=\begin{cases}{ \sigma(2t/(1+s)) & 0\leq t \leq (1+s)/2 \\ e & (1+s)/2 \leq t \leq 1 }\end{cases}}

참조

• https://mathoverflow.net/questions/97909/commutativity-of-the-fundamental-group-of-any-lie-group