작은숲:공책/미적분학/미분공식

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미분공식 모음입니다.

미분과 함수의 연산

• 상수 미분 ${\frac {d}{dx}}c=0;c\in \mathrm {C}$
• 상수배(multiply by constant) : ${\frac {d}{dx}}[c\cdot f(x)]=c\cdot {\frac {d}{dx}}f(x)=cf'(x),c\in \mathrm {C}$
• 덧셈/뺄셈(addition/subtraction) : ${\frac {d}{dx}}[f(x)\pm g(x)]={\frac {d}{dx}}f(x)\pm {\frac {d}{dx}}g(x)=f'(x)\pm g'(x)$
• 곱셈(multiplication) : ${\frac {d}{dx}}[f(x)\cdot g(x)]={\frac {d}{dx}}f(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}g(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
• 나눗셈(division) : ${\frac {d}{dx}}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {(d/dx)f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot (d/dx)g(x)}{{[g(x)]}^{2}}}={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}$
• 합성함수(composition) : ${\frac {d}{dx}}[f(g(x))]=[{\frac {d}{dx}}f(t)]\vert _{t=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$

주요 함수의 미분공식

• 다항함수 (polynomial): ${\frac {d}{dx}}x^{n}=n\cdot {\frac {d}{dx}}x^{n-1}$
• 지수함수 (exponential) : ${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}~;~{\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\cdot {\rm {{ln}~a~(a>0)}}$
• 로그함수 (logarithmic) : ${\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}~;~{\frac {d}{dx}}\log _{a}x={\frac {1}{x\cdot {\rm {{ln}a}}}}(a>0)$

• 삼각함수(trigonometric) :
  • ${\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x~;~{\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x$
  • ${\frac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x~;~{\frac {d}{dx}}\cot x=-\csc ^{2}x$
  • ${\frac {d}{dx}}\sec x=\sec {x}\tan {x};{\frac {d}{dx}}\csc x=-\csc {x}\cot {x}$
• 역삼각함수(inverse trigonometric):
  • ${\frac {d}{dx}}\sin ^{-1}x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}};{\frac {d}{dx}}\cos ^{-1}x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
  • ${\frac {d}{dx}}\tan ^{-1}x={\frac {1}{1+x^{2}}};{\frac {d}{dx}}\cot ^{-1}x=-{\frac {1}{1+x^{2}}}$
  • ${\frac {d}{dx}}\sec ^{-1}x={\frac {1}{\vert x\vert {\sqrt {x^{2}-1}}}};{\frac {d}{dx}}\csc ^{-1}x=-{\frac {1}{\vert x\vert {\sqrt {x^{2}-1}}}}$

• 쌍곡선함수(hyperbolic) :
  • ${\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x~;~{\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x$
  • ${\frac {d}{dx}}\tanh x={\rm {{sech}^{2}x;{\frac {d}{dx}}\coth x=-{\rm {{csch}^{2}x}}}}$
  • ${\frac {d}{dx}}{\rm {sech}}x=-{\rm {sech}}{x}\tanh {x};{\frac {d}{dx}}{\rm {csch}}x=-{\rm {csch}}{x}\coth {x}$
• 역쌍곡선함수(inverse hyperbolic):
  • ${\frac {d}{dx}}\sinh ^{-1}x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}};{\frac {d}{dx}}\cosh ^{-1}x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}(x>1)$
  • ${\frac {d}{dx}}\tanh ^{-1}x={\frac {1}{1-x^{2}}}(\vert x\vert <1);{\frac {d}{dx}}\coth ^{-1}x={\frac {1}{1-x^{2}}}(\vert x\vert >1)$
  • ${\frac {d}{dx}}{\rm {sech}}^{-1}x={\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}(0<x<1);{\frac {d}{dx}}{\rm {csch}}^{-1}x=-{\frac {1}{\vert x\vert {\sqrt {x^{2}+1}}}}(x\neq 0)$