마방진/변형된 형태
마방진은 정사각형 형태의 배열이나 여기서는 다른 도형의 형태로 배열된 예제에 대해 설명한다.
정사각형 대신에 정육각형 배열로 구성된 Magic Hexagon이 있다. 연속한 숫자에 대해서는 다음과 같이 한 변의 길이가 3개인 정육각형 형태의 배열만 존재한다.
각 변의 합이 26인 육각 별 모양(Magic Hexagram) 배열은 다음과 같다.
좀 더 일반적으로, 육각별, 칠각별, 팔각별 배열도 존재한다. 단 오각별 배열은 존재하지 않는다.
|
|
|
| Magic hexagram M = 26 |
Magic heptagram M = 30 |
Magic octagram M = 34 |
이 부분은 원래 지수귀문도 문서의 일부입니다.지수귀문도(地數龜文圖)는 벌집 모양으로 배열된 숫자들이 1부터 1개씩 커지면서 각 육각형의 여섯 꼭지점의 숫자의 합이 모두 일치하는 형태를 말한다. 최석정의 구수략(九數略)에서는 칸이 9개, 꼭지점이 30개인 다음과 같은 지수귀문도가 나온다.
지수귀문도는 육각형의 꼭지점의 합을 계산할 때 모두 합해서 한 번만 합하는 꼭지점, 두 번 합하는 꼭지점, 그리고 세 번 합하는 꼭지점이 존재한다. 이러한 특성 때문에 지수귀문도의 육각형의 원소의 합은 다르게 나올 수 있다.
지수귀문도를 가장 쉽게 푸는 방법을 소개한다. 이게 지수귀문도의 배열을 만족한다는 것은 파란색 꼭지점의 경우 육각형이 왼쪽 아래 혹은 오른쪽 아래로 내려갈 때 각각 +1씩/+4씩 커지고, 노란색 꼭지점의 경우 육각형이 왼쪽 아래/오른쪽 아래로 내려갈 때마다 각각 -1씩/-4씩 작아지는 것으로 쉽게 보일 수 있다. 참고로 이 경우는 육각형의 꼭지점의 원소의 합이 위와는 다르게 나오는 것을 참조하자. 육각형이 단지 아래의 배열일 뿐만 아니라 정사각 배열일 때 모두 풀 수 있다. 또한 시작점을 아래 그림의 맨 위쪽 노란색 점으로 하거나 꼭지점 채우는 규칙을 위/아래/위/아래 형식으로 변형하는 방법으로도 다른 지수귀문도 배열을 만들 수 있다.
- 우선 맨 위의 꼭지점을 하나의 색깔로 칠한 뒤(파란색) 인접한 꼭지점의 색은 다른 색깔(노란색)로 칠한다. 위의 그림처럼 인접한 꼭지점은 서로 다른 색깔로 칠해질 것이다.
- 그 다음 맨 위의 꼭지점에 숫자 1을 쓴다.
- 위의 그림처럼 왼쪽 아래의 육각형의 꼭지점에는 2를 쓴다. 2는 왼쪽 아래 육각형의 맨 위 꼭지점과 동일하다.
- 위의 그림처럼 2의 왼쪽 아래에 3, 3의 왼쪽 아래에 4를 쓴다.
- 이제 1과 같은 육각형의 오른쪽 아래에 5를 쓴다.
- 3~4번과 마찬가지로 왼쪽 아래로 내려가면서 6~8을 채운다.
- 마찬가지로 9~12, 13~15까지 채울 수 있다.
- 이제는 맨 아래에 노란색 꼭지점에 16을 적는다.
- 1↙2와는 반대로 노란색 꼭지점에서 ↗방향으로 올라가면서 17, 18, 19를 채운다.
- 16에서 왼쪽 위 방향의 노란색 꼭지점에 20을 채운 뒤 (9)번처럼 ↗방향으로 21,22,23을 채운다. 마찬가지로 20의 왼쪽 위 방향의 노란색 꼭지점 24를 채운 뒤 마찬가지로 25~27, 28을 채운 뒤 마찬가지로 29 30을 채울 수 있다.
최석정이 서술한 구수략에 나타난 형태. 십자가 형식으로 배열되어 있으며, 각 칸의 네 모서리의 합이 모두 같은 형태를 말한다.
역시 가장
네 개의 동심원 형태로 배열된 팔각형과 중심에 한 숫자가 있고, 한편으로는 이 팔각형의 꼭지점들이 중심의 숫자와 일직선을 이룬다. 팔각형의 꼭지점의 숫자와
팔각형이 3x3 형태로 아홉 개 배치되어 있고, 팔각형 중심의 숫자는 3x3 방진을 이루며, 각 팔각형은 팔각형과 중심의 숫자의 합을 더하면 모두 같게 된다.
정팔각형 열 세개가 엵혀 있으며, 정팔각형을 이루는 여덣 수의 합은 모두 같으며, 정사각형을 이루는 네 수의 합은 정확히 정팔각형을 이루는 여덣 수의 합의 절반이 되는 배열이다.