리만 가설

밀레니엄 문제
리만 가설	나비에-스토크스 방정식의 3차원 공간에서의 해의 존재와 매끄러움	버츠와 스위너톤-다이어 추측	양-밀스 가설의 존재와 질량 간극	호지 추측	P-NP 문제	푸엥카레 추측*
* 해결된 문제

리만 가설은 복소평면 상에서 자명한 해를 제외한 리만 제타 함수의 값이 0이 될 경우 그 해의 실수부가 1/2인지 확인하는 문제이다.

리만 제타 함수란?

리만 제타 함수는 자연수의 s제곱의 역수를 무한히 더한 것이다.

ζ(s)=$\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\dots$

여기서 s가 양의 실수일 경우에는 수렴 여부가 경우에 따라 다르다. 가령 s는 [0,1]에서 발산하고, s가 2인 경우에는 바젤 문제라 하여 $\frac{{\pi }^2}{6}$가 답이라고 레온하르트 오일러가 결론을 냈다.

음수의 경우 s가 -2의 배수일 경우에 언뜻 보면 발산할 것 같지만, 베르누이 수열을 사용해 변형하면 그 값이 0임을 알 수 있다. 이것이 리만 제타 함수의 '자명한 근'이다.

s를 복소수로 확장하였을 때, 리만은 s가 0이 되는 지점으로 -2의 자연수 배수 외에 4개를 더 찾았는데, 실수부가 전부 1/2, 즉 1/2 + ki 꼴로 나타나는 것을 발견하였고, 이렇게 자명하지 않은 근이 전부 실수부가 1/2가 아니냐는 문제를 제기하였는데, 이것이 리만 가설이다.

이후 리만 제타 함수와 소수 정리와의 연관성이 발표되면서, 소수의 분포를 알 수 있는 핵심 열쇠로 리만 가설이 부상하게 되었다. 그러나 바젤 문제가 푸는데 90년이 걸린 것을 뛰어넘어, 리만 가설은 아직도 미해결 상태이다.

이를 풀 경우 페르마의 마지막 정리를 푼 앤드루 와일스를 능가하는 명성을 얻을 것으로 전망되나, 마이클 아티야 같이 이걸 풀려다 망신당한 수학자가 한둘이 아니어서, 여러 모로 관심을 많이 받는 수학 문제다.