로피탈의 정리

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로피탈의 정리는 요한 베르누이가 발견하고 기욤 드 로피탈이 발표한 극한값 관련 정리다.

고등학교 극한 문제를 초토화시킬 수 있는 비장의 무기지만 정작 고등학교 수학 수준으로는 증명할 수 없는 정리이다.

그럼에도 불구하고 극한값 판별 시간이 확 줄어들기에 대학 수학과에 들어간 이후에는 확실히 유용한 정리이긴 하다. 다만 조건이 좀 까다로운데, 분자와 분모의 식을 미분한 뒤에 다시 쓰려면 다시 분자와 분모를 조사해 첫 미분 이전처럼 분자와 분모가 조건을 만족하는지 확인해야 한다. 그래서 완전히 이해해서 사용하게 되는 대학교 수학과 단계에서 배워야 한다는 의견이 한국에서 득세하는 것. 이차방정식 원리가 뭔지도 모르는데 근의 공식 쓴다고 하는 꼴이기 때문이다.

따라서 고등학교 단계에서는 이 정리를 안 쓰고 그래프 그려서 푸는 게 백 배 낫고 수능 문제를 내는 평가원도 그러길 원한다. 문제는 이건 한국 한정이고, 인도 쪽에서는 대입 시험에 로피탈의 정리 아니면 돌파 불가능한 문제가 간혹 나오기에, 그걸 돌파한 학생들이 전세계 IT 업계에서 날뛰는 이공계 인재 풀에 들어간다는 점에서 과연 '한국에서 고등학생이 대학 입학 단계 시험에 이 정리를 활용하면 안되는가'에 대해 의견이 분분하다.

사용법

${\frac {0}{0}}$이나 ${\frac {\infty }{\infty }}$일 때 $\lim _{x\rightarrow \alpha }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\rightarrow \alpha }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$이 성립.한번 안되면 두번,두번 안되면 세번
반복해도 된다.

단 $\lim _{x\rightarrow \alpha }{\frac {f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}}$
이 존재해야 한다.

예제 1

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin x}{x}}=\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\cos x}{1}}=\cos(0)=1$

예제 2

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\tan x}{x}}={\frac {\left(\sec x\right)^{2}}{1}}=\left(\sec 0\right)^{2}=1^{2}=1$

참고

참고로 이걸 만든 사람은 로피탈이 아니라 베르누이 효과로 유명한 베르누이다.

대충 베르누이가 발견한 법칙을 로피탈이 도둑질한(...) 정리로 둘이 학문 교류했는데 로피탈이 베르누이가 알려준 거 무단으로 편취해다가 자기 책에 정리하였고, 베르누이는 이걸 두고두고 씹었다고 한다.