뉴튼-랩슨 법

개요

뉴튼-랩슨 법은 어떤 연속함수의 방정식을 구할 때 사용하는 방법으로 다음의 점화식을 말한다.

점화식

$x_{n}=x_{n-1}-{\frac {f\left(x_{n-1}\right)}{f'\left(x_{n-1}\right)}}$

초기값

초기값을 적당히 잘 잡아야 몇단계 내로 끝낼 수 있지만 이 초기값을 잘 잡는 게 오사스럽다.

간단한 방정식의 경우에는 굳이 초기값을 쫌 크게 잡아도 대부분 몇번 깔짝거리면 해당 방정식의 해로 수렴한다.

예제

ln 2

우리는 방정식 $f\left(x\right)=e^{x}-2$의 근을 구할 것이다.

그리고 $f\left(x\right)=e^{x}-2,f'\left(x\right)=e^{x}$이다.

이제 점화식을 구해보면,

$x_{n}=x_{n-1}-{\frac {e^{x_{n-1}}-2}{e^{x_{n-1}}}}$

초기값을 1로 잡고 그 값을 표로 정리하면 다음과 같다.
비교후 맞는 자리까지 입력 후 그 값을 아래 점화식에 그대로 대입하였다.
예를 들어 0.693까지 맞으면 그 0.693이란 값을 그 점화식에 그대로 대입하였다.

횟수	값	소수점 이하 몇째 자리까지 맞는가.
1	1	0
2	$x_{2}=1-{\frac {e^{1}-2}{e^{1}}}\approx 0.73$	0
3	$x_{3}=0.73-{\frac {e^{0.73}-2}{e^{0.73}}}\approx 0.693$	3
4	$x_{4}=0.691-{\frac {e^{0.691}-2}{e^{0.691}}}\approx 0.6931471$	7
5	$x_{5}=0.6931471-{\frac {e^{0.6931471}-2}{e^{0.6931471}}}\approx 0.69314718055994$	14
6	$x_{6}=0.69314718055994-{\frac {e^{0.69314718055994}-2}{e^{0.69314718055994}}}\approx 0.6931471805599453094172321214$	28

대충 이렇게 실제 계산기로 일고리즘을 적용하면 상당히 빨리 수렴한다고 한다..

물론 초기값을 잘 잡아야 몇번안에 수렴한다.

\(\sqrt{2}\)

이 수는 방정식 $x^{2}-2=0$의 근을 구하는 것과 같으므로 다음과 같다.

${\begin{cases}&f\left(x\right)=x^{2}-2\\&f'\left(x\right)=2x\end{cases}}$

점화식은 다음과 같다.

$x_{n}=x_{n-1}-{\frac {{x_{n-1}}^{2}-2}{2x_{n-1}}}$

이제 구해보면...

초기값은 1이다.

횟수	근사값	소수점 이하 몇번째 자리까지 맞는가.
1	1	0
2	$x_{2}=1-{\frac {1^{2}-2}{2*1}}=1.5$	0
3	$x_{3}=1.5-{\frac {1.5^{2}-2}{2*1.5}}\approx 1.41$	2
4	$x_{4}=1.41-{\frac {1.41^{2}-2}{2*1.41}}\approx 1.41421$	5
5	$x_{5}=1.41421-{\frac {1.41421^{2}-2}{2*1.41421}}\approx 1.41421356237$	11
6	$x_{6}=1.41421356237-{\frac {1.41421356237^{2}-2}{2*1.41421356237}}\approx 1.4142135623730950488016$	22
7	$x_{7}=1.4142135623730950488016-{\frac {1.4142135623730950488016^{2}-2}{2*1.4142135623730950488016}}\approx 1.41421356237309504880168872420969807856967187$	44

방정식 \(10^{x}+5^{x}-25=0\)의 근 구하기

일단 점화식을 세워 놓자.

$x_{n}=x_{n-1}-{\frac {10^{x_{n-1}}+5^{x_{n-1}}-25}{10^{x_{n-1}}\ln 10+5^{x_{n-1}}\ln 5}}$

역시 표를 만들자.

참값은 모르므로 대충 해당 수를 위 방정식에 대입하고 그것과 25의 오차를 계산하여야 한다.

초기값은 이번엔 2로 해보자.

횟수	값	방정식에 대입시 25와의 오차.
1	2	100
2	1.6303066574143	34.224894714379
3	1.3690541667307	9.7539643088519
4	1.2602343153801	7.4471099668641
5	1.2453191381825	0.012787933776494
6	1.2450753285419	3.342886010671E-6
7	1.2450752647744	-1.5560885913146E-12

아무튼 오차의 절댓값이 빠르게 0으로 수렴한다.

방정식 \(\cos x+x^3=0\)의 근 구하기

${\begin{cases}&f\left(x\right)=\cos x+{x}^{3}\\&f'\left(x\right)=-\sin x+3{x}^{2}\end{cases}}$

점화식을 세워보면.

$x_{n}=x_{n-1}-{\frac {\cos x_{n-1}-{x_{n-1}}^{3}}{-\sin x_{n-1}+3{x_{n-1}}^{2}}}$

초기값은 2로 하겠습니다.

횟수	값	원래 방정식 대입 시 값
1	2	7.5838531635
2	1.316197227955930	2.5320048119
3	0.717524104322385	1.1228467036
4	-0.548366659918160	0.6884799691
5	-1.032049489939260	-0.5862021602
6	-0.887441424951214	-0.0675083594
7	-0.865929037655441	-0.0013695035
8	-0.865474233953938	-6.04272077819878E-07
9	-0.865474033101654	-1.17794662912729E-13
10	-0.865474033101614	대략 ${10}^{-15}$정도.

방정식 \({x}^{x}=2\)의 근 구하기

${\begin{cases}&f\left(x\right)={x}^{x}-2\\&f'\left(x\right)={x}^{x}\left(\ln x+1\right)\end{cases}}$

$x_{n}=x_{n-1}-{\frac {{x_{n-1}}^{x_{n-1}}-2}{{x_{n-1}}^{x_{n-1}}\left(\ln {x_{n-1}}+1\right)}}$

횟수	값	원래 방정식에 대입한 값-2
1	2	2
2	1.70469194542517937512809654533837422144167347556305996627986	약 0.48
3	1.577944557476270445692208233738232151068642360866752760706135853	0.05
4	1.5599245375170789924282304443524568239218251485248606005822021465993	0.0009
5	1.55961056257717667811411825090521591061446411465339074078530052555797972	2.6E-7
6	1.559610469462377536255432533823718726734151756806798834775151244831110372965	2.3E-14
7	1.5596104694623693499703887688282766760754367277887488683140719268229542994126414	1.8E-28
8	1.55961046946236934997038876876500299328488351184309142472337460260886493677807203430	1E-56
9	1.559610469462369349970388768765002993284883511843091424719594569413973034549590587105413	-1.2E87