기함수

Odd Function

기함수는 정의역 내의 임의의 실수(혹은 복소수) \(x\)에 대해서 $f(x)=-f(-x)$를 만족하는 함수 $f:D\to ℂ$를 의미한다.

기함수의 성질

\(f,\,g\)가 기함수, \(h\)가 우함수일 때

• $f\pm g$는 기함수이다.

  $(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f\left(x\right)-g\left(x\right)=-(f+g)\left(x\right)$

• $f\cdot g$는 우함수, $f\cdot h$는 기함수이다.

  $\left(fg\right)(-x)=f(-x)g(-x)=f\left(x\right)g\left(x\right)=\left(fg\right)\left(x\right)$

  $\left(fh\right)(-x)=f(-x)h(-x)=-f\left(x\right)h\left(x\right)=-\left(fh\right)\left(x\right)$

• $1/f$는 기함수이다.

  $(1/f)(-x)=1/f(-x)=-1/f\left(x\right)=-(1/f)\left(x\right)$

• $f/g$는 우함수, $f/h,h/f$는 기함수이다.

  위의 두 성질을 사용하면 증명된다.

• 도함수 $f\prime$은 우함수이다.

  $f\left(x\right)=-f(-x)$의 양변을 미분하면, $f^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }(-x)$.

• $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x=0$

  $\underset{-a}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x=-\underset{0}{\overset{-a}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{-a}{\int }}f(-x)\mathrm{d}x$에서, $-x=t$로 치환하면, $\mathrm{d}x=-\mathrm{d}t$이고, 적분 범위는 0에서 \(a\)까지 이다. 따라서, $\underset{0}{\overset{-a}{\int }}f(-x)\mathrm{d}x=-\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(t\right)\mathrm{d}t=-\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x$이고, 곧 $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x=\underset{-a}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x+\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x=-\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x+\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x=0$

고등학교 수학 수준에서 보면 기함수는 좌표평면상에서 원점에 대하여 대칭이다.

기함수의 예

• 홀수 차수인 다항함수와 그 역수를 함수값으로 하는 분수 함수.
• 삼각함수 중 $\sin x,\tan x,\cot x,\csc x$가 기함수이다.

각주

이 문서의 출처는 리브레 위키의 기함수 문서입니다.