우함수

Even Function

우함수는 정의역 내의 임의의 실수(혹은 복소수) \(x\)에 대해서 $f(x)=f(-x)$를 만족하는 함수 $=f:D\to ℂ$를 의미한다.

성질

\(f,\,g\)가 우함수, \(h\)가 기함수일 때,

• $f\pm g$는 우함수이다.

  $(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f\left(x\right)+g\left(x\right)=(f+g)\left(x\right)$

• $f\cdot g$는 우함수, $f\cdot h$는 기함수이다.

  $\left(fg\right)(-x)=f(-x)g(-x)=f\left(x\right)g\left(x\right)=\left(fg\right)\left(x\right)$

  $\left(fh\right)(-x)=f(-x)h(-x)=-f\left(x\right)h\left(x\right)=-\left(fh\right)\left(x\right)$

• $1/f$는 우함수이다.

  $(1/f)(-x)=1/f(-x)=1/f\left(x\right)=(1/f)\left(x\right)$

• $f/g$는 우함수, $f/h,h/f$는 기함수이다.

  위 두 성질을 사용하면 증명된다.

• 도함수 $f\prime$은 기함수이다.

  $f\left(x\right)=f(-x)$의 양변을 미분하면, $f^{\prime }\left(x\right)=-f^{\prime }(-x)$.

• $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x=2\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x$

  $\underset{-a}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x=\underset{-a}{\overset{0}{\int }}f(-x)\mathrm{d}x$에서, $-x=t$로 치환하면, $\mathrm{d}x=-\mathrm{d}t$이고, 적분 범위는 0에서 \(a\)까지이다. 따라서, $\underset{-a}{\overset{0}{\int }}f(-x)\mathrm{d}x=-\underset{a}{\overset{0}{\int }}f\left(t\right)\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(t\right)\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x$이고, 곧 $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x=\underset{-a}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x+\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x=2\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x$

고등학교 수준의 수학에서는 우함수는 $y$축에 대하여 대칭이다.

우함수의 예

• 짝수 차수인 다항함수와 그 역수를 함수값으로 하는 분수 함수.
• 삼각함수 중 $\cos x,\sec x$가 우함수이다.
• 표준정규분포의 확률밀도함수 $f(x)=\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi }}$.