리만 가설: 두 판 사이의 차이

2024년 2월 19일 (월) 12:23 판

밀레니엄 문제
리만 가설	나비에-스토크스 방정식의 3차원 공간에서의 해의 존재와 매끄러움	버츠와 스위너톤-다이어 추측	양-밀스 가설의 존재와 질량 간극	호지 추측	P-NP 문제	푸엥카레 추측^*
* 해결된 문제

리만 가설은 복소평면 상에서 자명한 해^[1]를 제외한 리만 제타 함수의 값이 0이 될 경우 그 해의 실수부가 1/2인지 확인하는 문제이다.

리만 제타 함수란?

리만 제타 함수는 자연수의 s제곱^[2]의 역수를 무한히 더한 것이다.

ζ(s)= $\frac{1}{1^{s}} + \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{4^{s}} + \dots$

여기서 s가 양의 실수일 경우에는 수렴 여부가 경우에 따라 다르다. 가령 s는 [0,1]에서 발산하고, s가 2인 경우에는 바젤 문제라 하여 $\frac{π^{2}}{6}$ 가 답이라고 레온하르트 오일러가 결론을 냈다.^[3]

음수의 경우 s가 -2의 배수일 경우에 언뜻 보면 발산할 것 같지만, 베르누이 수열을 사용해 변형하면^[4] 그 값이 0임을 알 수 있다.

↑ -2의 배수인 음수값을 가리킨다.
↑ 리만 제타 함수의 근은 관례적으로 s라고 쓰는데, 레온하르트 오일러가 처음 이 함수를 제기한 이후 이 함수를 연구한 베른하르트 리만이 그렇게 표기했었기 때문이다.
↑ sin함수를 적절히 인수분해한 후 정리한 다음 그것의 극한을 취하고 sin함수의 테일러 급수 전개와 비교하는 Euler's Attack으로 해결할 수 있다. 일반인 눈에는 분수 관련 문제에 뜬금없이 sin함수가 등장하니 당황스럽겠지만, 이렇게 서로 관련 없어 보이는 방법으로 수학 문제를 해결한 사례가 역사 속에 수두룩하다. 푸엥카레 추측도 그렇게 풀렸다고 알려져 있다.
↑ $ζ (- n) = \frac{(- 1)^{n}}{(n + 1)} B_{n + 1}$

[1] -2의 배수인 음수값을 가리킨다.

[2] 리만 제타 함수의 근은 관례적으로 s라고 쓰는데, 레온하르트 오일러가 처음 이 함수를 제기한 이후 이 함수를 연구한 베른하르트 리만이 그렇게 표기했었기 때문이다.

[3] sin함수를 적절히 인수분해한 후 정리한 다음 그것의 극한을 취하고 sin함수의 테일러 급수 전개와 비교하는 Euler's Attack으로 해결할 수 있다. 일반인 눈에는 분수 관련 문제에 뜬금없이 sin함수가 등장하니 당황스럽겠지만, 이렇게 서로 관련 없어 보이는 방법으로 수학 문제를 해결한 사례가 역사 속에 수두룩하다. 푸엥카레 추측도 그렇게 풀렸다고 알려져 있다.

[4] $ζ (- n) = \frac{(- 1)^{n}}{(n + 1)} B_{n + 1}$

[1]

[2]

[3]

[4]

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 == 리만 제타 함수란? ==
-리만 제타 함수는 자연수의 s제곱<ref>리만 제타 함수의 근은 관례적으로 s라고 쓰는데, 이 함수를 정의한 베른하르트 리만이 그렇게 표기했었기 때문이다.</ref>의 역수를 무한히 더한 것이다.
+리만 제타 함수는 자연수의 s제곱<ref>리만 제타 함수의 근은 관례적으로 s라고 쓰는데, 레온하르트 오일러가 처음 이 함수를 제기한 이후 이 함수를 연구한 베른하르트 리만이 그렇게 표기했었기 때문이다.</ref>의 역수를 무한히 더한 것이다.
   ζ(s)=<math>{1 \over 1^s}+{1 \over 2^s}+{1 \over 3^s}+{1 \over 4^s}+\ldots</math>
 여기서 s가 양의 실수일 경우에는 수렴 여부가 경우에 따라 다르다. 가령 s는 <nowiki>[0,1]</nowiki>에서 발산하고, s가 2인 경우에는 바젤 문제라 하여 <math>{\pi^2 \over 6}</math>가 답이라고 레온하르트 오일러가 결론을 냈다.<ref>sin함수를 적절히 인수분해한 후 정리한 다음 그것의 극한을 취하고 sin함수의 테일러 급수 전개와 비교하는 Euler's Attack으로 해결할 수 있다. 일반인 눈에는 분수 관련 문제에 뜬금없이 sin함수가 등장하니 당황스럽겠지만, 이렇게 서로 관련 없어 보이는 방법으로 수학 문제를 해결한 사례가 역사 속에 수두룩하다. [[푸엥카레 추측]]도 그렇게 풀렸다고 알려져 있다.</ref>
+음수의 경우 s가 -2의 배수일 경우에 언뜻 보면 발산할 것 같지만, 베르누이 수열을 사용해 변형하면<ref><math>\zeta{(-n)}={(-1)^n \over (n+1)}B_{n+1}</math></ref> 그 값이 0임을 알 수 있다.