작은숲:Sudo위키/적분

적분 (積分, Integral) 은 실수 공간에서 연속인 함수에 대해 그 함수의 정의역의 부분 집합을 이루는 구간 $[a,b]$ 에 대응하는 치역으로 이루어진 곡선의 합의 극한을 구하는 기법입니다.

개요

적분 (積分, Integral) 은 실수 공간에서 연속인 함수에 대해 그 함수의 정의역의 부분 집합을 이루는 구간 $[a,b]$ 에 대응하는 치역으로 이루어진 곡선의 합의 극한을 구하는 기법입니다. 곡선이 이루는 면적을 구하는 것으로 착각하는 경우도 있으나, 곡선이 이루는 면적과 적분값이 같은 경우는 오직 $f(x)\geqq 0$ 인 경우에만 성립합니다. 즉, 같은 구간에서 $f(x)$ 가 음수의 값을 가지는 경우에는 곡선이 이루는 면적과 다른 값이 나오게 됩니다.

폐구간 $[a,b]$ 에서 연속인 함수 $f(x)$ 에 대한 적분의 수학적 정의는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\Delta x

(단, $x_{k}=a+k\Delta x,\ \Delta x={\frac {b-a}{n}}$ )

역사

고대 그리스의 수학자이자 물리학자인 아르키메데스는 도형의 부피나 면적을 구하는 데에 있어 오늘날의 적분과 흡사한 방법을 고안했습니다. 이 방법은 구적법이라고 하며, 대상이 되는 도형을 사각형으로 잘게 자른 다음에 그것을 모두 더하는 방식입니다. 단순한 사각형으로 자르기 때문에 곡선같은 경우에는 필연적으로 오차가 생기게 되며, 더욱 잘게 자를수록 오차가 줄어들게 됩니다. 이후에 극한 개념이 생기면서 이를 체계적으로 다룰 수 있게 되었습니다.

도보기