오일러 공식

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간단 정의

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,x\in ℝ,i=\sqrt{-1}.$

이걸로 얼마나 무시무시하고 끔찍한 일을 할 수 있는가?

x에 $\pi$를 대입하면,

이런 눈깔이 터져나갈 듯한 혐짤이 탄생한다. $e^{\pi i}=-1$

양변에 1 더하면,

$e^{\pi i}+1=0$

오 신이시여!!!!!

이걸로 ln i를 구해보자.

$\cos x=0$

일반해를 구하면,

$x=2n\pi \pm \frac{\pi }{2}$

이다.

즉 $\ln i=2n\pi i+\frac{\pi i}{2}$.

이걸로 i^i를 구해보자.

$i^i=e^{i\ln i}=e^{-2n\pi -\frac{\pi }{2}}$

n=0이면

$i^i=e^{-\frac{\pi }{2}}$

cosx의 새로운 정의

위 식에서 $x$대신 $-x$를 대입하면.

$e^{-ix}=\cos (-x)+i\sin (-x)$

다시 정리하면,

$e^{-ix}=\cos \left(x\right)-i\sin \left(x\right)$

이걸 제 1식.

오일러의 항등식인

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

을 제 2식이라고 하면,

제1식+제2식하면,

$e^{ix}+e^{-ix}=\cos x+\cos x\cancel{+i\sin x}\cancel{-i\sin x}$

$2\cos x=e^{ix}+e^{-ix}$

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

sinx의 새로운 정의

제1식=오일러의 항등식=$e^{ix}=\cos x+i\sin x$.

제2식=$e^{-ix}=\cos x-i\sin x$.

제1식-제2식 하면.

$e^{ix}-e^{-ix}=\cancel{\cos x}+i\sin x\cancel{-\cos x}+i\sin x$

$e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin x$

양변을 2i로 나누면.

$\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=\sin x$

분모와 분자에 각각 i를 곱해주면.

$\frac{i(e^{ix}-e^{-ix})}{-2}=\sin x$

분모와 분자에 각각 -1을 곱해주면.

$\frac{-i(e^{ix}-e^{-ix})}{2}=\sin x$.

tanx의 새로운 정의

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\frac{-i(e^{ix}-e^{-ix})}{2}}{\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$

분모와 분자에 각각 2를 곱해주면.

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{-i(e^{ix}-e^{-ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}$