쌍곡선함수

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개요

쌍곡선함수의 정의는 다음과 같다.

삼각함수에 허수넣으면 나오는 녀석들이다.

\(\sinh x\)

$\sinh \left(x\right)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

역함수 \(\sinh^{-1} x\)

이 함수의 역함수는 다음과 같이 구할 수 있다.
우선 구하고자 하는 역함수를 ?로 놓으면,$\sinh ?=x$
즉 ${\frac {e^{?}-e^{-?}}{2}}=x$이다.
양변에 $e^{?}$를 곱하면,${\frac {e^{2?}-1}{2}}=e^{?}x$
양변에 2를 곱하면,$e^{2?}-1=2xe^{?}$
양변에 $2xe^{?}$를 빼면,$e^{2?}-2xe^{?}-1=0$
좌변을 적절히 변형하면,$\left(e^{?}-x\right)^{2}-x^{2}-1=0$이 된다.
양변에 ${x}^{2}+1$을 더하면,$\left(e^{?}-x\right)^{2}={x}^{2}+1$
양변을 풀면,$e^{?}-x=\pm {\sqrt {{x}^{2}+1}}$
양변에 $x$를 더하면,$e^{?}=x\pm {\sqrt {{x}^{2}+1}}$
그런데 $x-{\sqrt {{x}^{2}+1}}$은 항상 0보다 작고 $e^{x}$는모든 실수 $x$에 대해서 $e^{x}>0$이 성립하므로 이것을 제외해 주면,<$e^{?}=x+{\sqrt {{x}^{2}+1}}$
양변에 자연대수를 취하면 마침내 ?를 구할 수 있다.
$?=\sinh ^{-1}x=\ln \left(x+{\sqrt {{x}^{2}+1}}\right)$.

\(\cosh x\)

$\cosh \left(x\right)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

역함수 \(\cosh^{-1} x\)

이 함수의 역함수는 다음과 같이 구할 수 있다.
우선 구하고자 하는 역함수를 ?로 놓으면,$\cosh ?=x$
즉 ${\frac {e^{?}+e^{-?}}{2}}=x$이다.
양변에 $e^{?}$를 곱하면,${\frac {e^{2?}+1}{2}}=e^{?}x$
양변에 2를 곱하면,$e^{2?}+1=2xe^{?}$
양변에 $2xe^{?}$를 빼면,$e^{2?}-2xe^{?}+1=0$
좌변을 적절히 변형하면,$\left(e^{?}-x\right)^{2}-x^{2}+1=0$이 된다.
양변에 ${x}^{2}+1$을 더하면,$\left(e^{?}-x\right)^{2}={x}^{2}-1$
양변을 풀면,$e^{?}-x=\pm {\sqrt {{x}^{2}-1}}$
양변에 $x$를 더하면,$e^{?}=x\pm {\sqrt {{x}^{2}-1}}$
양변에 자연대수를 취하면 마침내 ?를 구할 수 있다.
$?=\cosh ^{-1}x={\begin{cases}&\ln \left(x+{\sqrt {{x}^{2}-1}}\right)\left(0<x<\infty \right)\\&\ln \left(x-{\sqrt {{x}^{2}-1}}\right)\left(-\infty <x\leq 0\right)\end{cases}}$

\(\tanh x\)

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}$

역함수 \(\tanh^{-1} x\)

${\frac {e^{?}-e^{-?}}{e^{?}+e^{-?}}}=x$
$e^{?}-e^{-?}=x\left(e^{?}+e^{-?}\right)$
$e^{?}-e^{-?}=xe^{?}+xe^{-?}$
$e^{?}-xe^{?}-e^{-?}-xe^{-?}=0$
$e^{2?}-xe^{2?}-1-x=0$
$e^{?}=t$
$t^{2}-xt^{2}-1-x=0$
$\left(1-x\right)t^{2}=1+x$
$t^{2}={\frac {1+x}{1-x}}$
$t=\pm {\sqrt {\frac {1+x}{1-x}}}$
$t={\sqrt {\frac {1+x}{1-x}}}\left(t>0\right)$
$e^{?}={\sqrt {\frac {1+x}{1-x}}}$
$?=\ln \left({\sqrt {\frac {1+x}{1-x}}}\right)=\tanh ^{-1}x={\frac {1}{2}}\left\{\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)\right\}={\frac {1}{2}}\left\{\ln \left(1+x\right)-\ln \left(1-x\right)\right\}={\frac {\ln \left(1+x\right)-\ln \left(1-x\right)}{2}}$

표로 정리

표로 정리하면 다음과 같다.

함수	역함수
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \sinh x}	구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ln \left(x+{\sqrt {{x}^{2}+1}}\right)}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \cosh x}	구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\begin{cases}&\ln \left(x+{\sqrt {{x}^{2}-1}}\right)\left(0<x<\infty \right)\\&\ln \left(x-{\sqrt {{x}^{2}-1}}\right)\left(-\infty <x\leq 0\right)\end{cases}}}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \tanh x}	구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {\ln \left(1+x\right)-\ln \left(1-x\right)}{2}}}