쌍곡선함수

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개요

쌍곡선함수의 정의는 다음과 같다.

삼각함수에 허수넣으면 나오는 녀석들이다.

\(\sinh x\)

$\sinh \left(x\right)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

역함수 \(\sinh^{-1} x\)

이 함수의 역함수는 다음과 같이 구할 수 있다.
우선 구하고자 하는 역함수를 ?로 놓으면,$\sinh ?=x$
즉 ${\frac {e^{?}-e^{-?}}{2}}=x$이다.
양변에 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle e^{?}} 를 곱하면,구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \frac{e^{2?}-1}{2}=e^{?}x}
양변에 2를 곱하면,구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle e^{2?}-1=2xe^{?}}
양변에 $2xe^{?}$를 빼면,구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle e^{2?}-2xe^{?}-1=0}
좌변을 적절히 변형하면,$\left(e^{?}-x\right)^{2}-x^{2}-1=0$이 된다.
양변에 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle {x}^{2}+1} 을 더하면,구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \left ( e^{?}-x \right )^{2}={x}^{2}+1}
양변을 풀면,$e^{?}-x=\pm {\sqrt {{x}^{2}+1}}$
양변에 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle x} 를 더하면,구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle e^{?}=x\pm \sqrt{{x}^{2}+1}}
그런데 $x-{\sqrt {{x}^{2}+1}}$은 항상 0보다 작고 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle e^{x}} 는모든 실수 $x$에 대해서 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle e^{x}>0} 이 성립하므로 이것을 제외해 주면,<구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle e^{?}=x+\sqrt{{x}^{2}+1}}
양변에 자연대수를 취하면 마침내 ?를 구할 수 있다.
$?=\sinh ^{-1}x=\ln \left(x+{\sqrt {{x}^{2}+1}}\right)$.

\(\cosh x\)

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \cosh\left ( x \right )=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}}

역함수 \(\cosh^{-1} x\)

이 함수의 역함수는 다음과 같이 구할 수 있다.
우선 구하고자 하는 역함수를 ?로 놓으면,구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \cosh?=x}
즉 ${\frac {e^{?}+e^{-?}}{2}}=x$이다.
양변에 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle e^{?}} 를 곱하면,구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \frac{e^{2?}+1}{2}=e^{?}x}
양변에 2를 곱하면,$e^{2?}+1=2xe^{?}$
양변에 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle 2xe^{?}} 를 빼면,구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle e^{2?}-2xe^{?}+1=0}
좌변을 적절히 변형하면,$\left(e^{?}-x\right)^{2}-x^{2}+1=0$이 된다.
양변에 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle {x}^{2}+1} 을 더하면,구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \left ( e^{?}-x \right )^{2}={x}^{2}-1}
양변을 풀면,$e^{?}-x=\pm {\sqrt {{x}^{2}-1}}$
양변에 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle x} 를 더하면,구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle e^{?}=x\pm \sqrt{{x}^{2}-1}}
양변에 자연대수를 취하면 마침내 ?를 구할 수 있다.
$?=\cosh ^{-1}x={\begin{cases}&\ln \left(x+{\sqrt {{x}^{2}-1}}\right)\left(0<x<\infty \right)\\&\ln \left(x-{\sqrt {{x}^{2}-1}}\right)\left(-\infty <x\leq 0\right)\end{cases}}$

\(\tanh x\)

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} }

역함수 \(\tanh^{-1} x\)

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \frac{e^{?}-e^{-?}}{e^{?}+e^{-?}}=x}
$e^{?}-e^{-?}=x\left(e^{?}+e^{-?}\right)$
구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle e^{?}-e^{-?}=xe^{?}+xe^{-?}}
구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle e^{?}-xe^{?}-e^{-?}-xe^{-?}=0}
$e^{2?}-xe^{2?}-1-x=0$
구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle e^{?}=t}
구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle t^{2}-xt^{2}-1-x=0}
$\left(1-x\right)t^{2}=1+x$
구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle t^{2}=\frac{1+x}{1-x}}
구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle t=\pm \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}}
$t={\sqrt {\frac {1+x}{1-x}}}\left(t>0\right)$
구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle e^{?}=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}}
구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle ?=\ln\left ( \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \right )=\tanh^{-1}x=\frac{1}{2}\left \{ \ln \left ( {\frac{1+x}{1-x}} \right ) \right \}=\frac{1}{2}\left \{ \ln\left ( 1+x \right )-\ln\left ( 1-x \right ) \right \}=\frac{\ln\left ( 1+x \right )-\ln\left ( 1-x \right )}{2}}

표로 정리

표로 정리하면 다음과 같다.

함수	역함수
$\sinh x$	구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \ln\left ( x+\sqrt{{x}^{2}+1} \right )}
구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \cosh x}	구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \begin{cases} & \ln\left ( x+\sqrt{{x}^{2}-1} \right )\left ( 0<x<\infty \right ) \\ & \ln\left ( x-\sqrt{{x}^{2}-1} \right )\left ( -\infty<x\leq 0 \right ) \end{cases} }
구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \tanh x }	구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \frac{\ln\left ( 1+x \right )-\ln\left ( 1-x \right )}{2}}