유클리드의 원론/13권

원론 12권은 11권, 12권에 에 이어서 입체도형에 관한 정리들을 설명하고 있다. 정의는 따로 정의하지는 않으나 18개의 정리가 있다. 원론의 마지막 책이다.

정리

1. 어떤 직선을 황금비율로 나눈다. 그러면 전체의 절반에 긴 토막을 더한 것의 제곱은 전체의 절반의 넓이의 제곱의 다섯 배이다.(황금비를 φ라고 놓을 때 이것은 (1/2+1/φ)^2=5/2임을 의미합니다.)

2. 어떤 직선(a) 제곱이 다른 직선(b)의 제곱의 다섯 배라고 하자. 그러면 작은 직선의(b)의 2배직선을 잡을 때(c) 큰 직선에서 작은 직선을 뺀 것(a-b)은 작은 직선의 2배직선을 황금분할한다. (이것은 √5-1:3-√5=φ:1임을 의미합니다.)

Lemma for XIII.2.

3. 어떤 직선을 황금분할하면 긴 토막의 절반에 짧은 토막을 더한 것으로 정사각형으로 만들면 긴 토막의 절반으로 만든 정사각형 넓이의 다섯 배가 된다. (이것은 (φ/2+1)^2=5*(φ/2)^2임을 의미합니다.)

4. 어떤 직선을 황금분할하면, 전체 직선의 제곱에 짧은 토막의 제곱을 더하면 긴 토막의 제곱의 3배가 된다. (이것은 (φ+1)^2+1=3*φ^2가 된다는 것을 의미합니다.

5. 어떤 직선을 황금분할한 후(a,b), 긴 토막을 원래의 직선에 붙인다(a+(a+b)). 그러면 원래의 직선은 이어 붙인 직선을 황금분할한다. (즉, 1+φ:φ=φ:1임을 의미합니다.)

6. 길이가 유비수인 직선을 황금분할하면 각각의 토막들의 길이는 유비수의 차(10권 참조)로 표현된다.

7. 변들의 길이가 모두 같은 오각형이 있다. 이 오각형의 세 각의 크기가 같으면 이 오각형의 모든 각은 크기가 동일하다.

8. 정요각형에서 두 대각선을 그으면 그 대각선은 서로를 황금분할한다. 또한 황금분할된 대각선 중 긴 토막의 길이는 오각형의 변의 길이와 동일하다. (정오각형의 변의 길이가 1일 때 대각선의 길이가 φ라는 것을 설명합니다.)

9. 같은 크기의 원에 내접하는 정육각형의 변과 정십이각형의 변을 더한다. 그러면 두 토막은 두 토막의 합을 황금분할하며, 그 중 긴 토막이 정육각형의 변이다. (이것은 정육각형의 변의 길이와 정십이각형의 변의 길이가 φ:1이라는 것을 설명합니다.)

10. 어떤 원에 내접하는 정오각형의 변의 제곱은 같은 원에 내접하는 정육각형과 정십각형의 변의 제곱의 합과 동일하다.

11. 반지름의 길이가 유비수인 원에 정오각형이 내접하면 정오각형의 변의 길이는 "소직선의 수"이다.

12. 어떤 원에 정삼각형을 내접시키면 삼각형의 변의 제곱은 원의 반지름의 제곱의 세 배가 된다..

13. 주어진 구에 정사면체를 내접시킬 수 있다. 또한 구의 지름의 제곱은 정사면체의 한 변의 제곱의 한 배 반이다.

Lemma for XIII.13.

14. 주어진 구에 정팔면체를 내접시킬 수 있다. 또한 구의 지름의 제곱은 정팔면체 한 변의 제곱의 두 배이다.

15. 주어진 구에 정육면체를 내접시킬 수 있다. 또한 구의 지름의 제곱은 정육면체 한 변의 제곱의 세 배이다.

16. 주어진 구에 정이십면체를 내접시킬 수 있다. 또한 만일 구의 지름의 길이가 유비수이면, 정이십면체의 변의 길이는 소직선의 수가 된다.

Corollary. 구의 지름의 제곱은 정이십면체를 만들기 위해 그린 원의 반지름의 제곱의 다섯 배이다. 또한 구의 지름은 이 원에 내접하는 정육각형의 한 변과 정십각형의 두 변을 더한 것의 길이와 같다.

17. 주어진 구에 정십이면체를 내접시킬 수 있다. 또한 만일 구의 지름의 길이가 유비수이면, 정십이면체의 변의 길이는 유비수의 차수가 된다.

Corollary. 어떤 구가 있을 때 그 구에 정육면체와 정십이면체가 한 구에 내접한다 그렇다면 정육면체 한 변을 황금분할하면 긴 토막의 길이는 정십이면체의 변의 길이와 동일하다.

18. 다섯 개 정다면체들의 변을 긋고 서로의 길이를 비교할 수 있다.

Remark. 이 다섯 개의 입체 이외에는 정다면체가 없다.

Lemma. 정오각형의 한 각의 크기는 직각의 6/5배이다.