유클리드의 원론/2권
유클리드의 원론의 2권은 직사각형의 넓이와 관련된 정리들이 있다.
1.직사각형은 서로 직각으로 만나는 두 변에 의해 구성된다(Contained). 다시 말해 서로 직각인 두 변만 주어지면 유일한 직사각형이 생성된다.
2. 평행사변형에서 대각선을 하나 그은 다음 그 대각선에서 한 점 A를 잡고 대각선을 구성하는 한 꼭지점과 A를 포함하는 평행사변형과 그 평행사변형과 인접하는 두 평행사변형을 포함하는 도형을 "ㄱ자도형"(Gnomon, 노몬이라고 읽고, 앞으로도 노몬이라고 부르겠습니다)이라고 한다.
1. 두 개의 선분(x, y)이 존재하고, 한 선분(y)은 다른 몇 개의 선분의조각(y=y1,y2,…, yn)으로나눠지면두 선분(x,y)에 의해 구성된 직사각형의 넓이는조각난 선분의 조각들과 나머지 한 변으로 구성된 직사각형들((x,y1), (x,y2), …, (x, yn))의 넓이의 합과 같다.
2. 한 선분(a)을 임의로 절단하면 (a1, a2), 그 선분(a)과 절단된 조각(a1, a2)으로 구성된 두 직사각형의 넓이의 합은 절단되기 전의 선분(a)의 제곱과 동일하다.
3. 한 선분(a)을 임의로 절단하면(a1, a2), 그 선분(a)과 절단된 조각 중 하나(a1)로 구성된 직사각형의 넓이는서로 다른 두 조각(a1, a2)으로 구성된 직사각형의 넓이와 처음에 언급한 조각(a1)의 제곱과동일하다.
4. 한 선분(a)을 임의로 절단하면(a1, a2), 절단하기 전의 선분(a)의 제곱은각 절단된 조각(a1, a2)의 제곱에절단된 조각 둘(a1, a2)로 구성된 직사각형의 넓이의 2배를 더한 것과 동일하다.
5. 한 선분(a)을등분해서절단한 경우(등분점 C, e1, e2)와 부등분해서 절단한 경우(부등분점 D, a1, a2)가 있을 경우 부등분해서 절단한두 조각(a1, a2)으로 구성된 직사각형의 넓이와 부등분점과 등분점 사이의 선분(CD)의 제곱의 합은등분된한 선분 조각(a1)의 제곱과 동일하다.
6. 한 선분(a)을 등분해서 절단한 경우(등분점 C)에 또 다른 선분(b)를 연결한 경우 두 선분(a, b)으로 구성된 직사각형의 넓이에 등분한 선분(a1)의 제곱과 더해진 선분(b)의 제곱을 더하면 등분한 선분에 추가된 선분을 더한 선분(a1+b)의 제곱과 동일하다.
7. 한 선분(a)을 임의로 절단한 경우(a1, a2), 절단되기 전의 선분의 제곱에 한 선분조각(a1)의 제곱의 합은 그 선분(a1)과 전체 선분(a)으로 구성된 직사각형 넓이의2배에 나머지 선분조각(a2)의 제곱의 합과 동일하다.
8. 한 선분(a)을 임의로 절단한 경우(a1, a2), 절단되기 전의선분(a)과 한 조각(a1)으로 구성된 직사각형 넓이의 4배에 나머지 조각(a2)의 제곱의 합은 절단되기 전의 선분에 전에 언급한 한 조각의 합(a+a1)의 제곱과 동일하다.
9. 한 선분(a)을 등분해서 절단한 경우(등분점 C, e1, e2)와 부등분해서 절단한 경우(분점 D, 선분 a1, a2), 부등분한 두 선분의 제곱(a1, a2)은 등분한 선분(e1)의 제곱에 등분점과 부등분점 사이의 선분(CD)의 제곱의 합(즉 e1*e1+CD*CD)의 2배와 동일하다.
10. 한 선분(a)을 등분해서 절단한 경우(등분점 C, e1, e2)에 새로운 선분(b)를 추가한 경우 전체 선분에 새 선분을 합한 것(a+b)의 제곱에 새 선분의 제곱의 합은 등분한 선분(e1)과 등분한 선분에 새 선분을 합한 것(e2+b)의 제곱의 합(즉, e1*e1+(e2+b)*(e2+b) )의 2배와 동일하다.
11. 임의의 선분 AB에 대해 큰 조각의 제곱이 작은 조각과 전체 선분으로 구성된 직사각형의 넓이와 동일한 크기가 되도록 절단할 수 있다. (황금비의 생성과 관련된 정리입니다.)
12. 둔각삼각형(ABC)에서 가장 긴 변(BC가 가장 길다고 가정합니다.)의 제곱은 나머지 두 변의 제곱의 합보다 삼각형의 밑변(AB로 잡겠습니다.)과"(BC와 마주보는) 꼭지점과 수선의 발(점 C에서 AB로 내린 수선의 발입니다.)사이의 선분"으로구성된 직사각형의 넓이의 2배만큼 더 크다.(말로 설명하기에는 어렵습니다. 그림을 보셔야 이해하실듯.)
13. 예각삼각형(ABC)에서 한 변의 제곱(BC)은 나머지 두 변의 제곱의 합보다 밑변(편의상AB로 놓겠습니다.)과"(BC와 마주보는) 꼭지점과 수선의 발 사이의 선분"으로구성된 직사각형의 넓이의 2배만큼 더 작다. (잘 보면 12번 정리와 13번 정리는 제2코사인법칙을 기하학적인 방법으로 설명했다는 것도 알 수 있을 겁니다. 13번 정리는 제곱을 구하려는 변과 마주보는 각이 예각일 때에는이 방법으로설명할 수 있습니다.)
14. 임의의 다각형과 넓이가 같은 정사각형을 작도할 수 있다.(1권에서는 임의의 다각형과 넓이가 같은 직사각형을 작도할 수 있었습니다 이 정리는 직사각형을 같은 넓이의 정사각형으로 바꾸는 정리입니다.)
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