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뉴튼 방법 (Newton's Method) 은 스칼라 변수 $x$로 이루어진 미분 가능한 연속 함수 $f$에서 $f(x)=0$ 을 푸는 방법입니다.

개요

뉴튼 방법 (Newton's Method) 은 스칼라 변수 $x$로 이루어진 미분 가능한 연속 함수 $f$에서 $f(x)=0$ 을 푸는 방법으로, 1669년에 아이작 뉴튼에 의해 발표되었습니다. 이 방법은 대수적인 접근이 어려운 경우에 유용하며, 이런 식으로 한 함수의 근을 찾아내는 문제가 자연과학과 공학에서 흔하기도 합니다.

설명

단순한 설명

어떤 함수가 있을 때 그 함수의 근을 추측한 다음, 그 근에서의 접선을 찾아서 접선의 $x$ 절편을 구합니다. 이 $x$ 절편의 값은 처음 추측한 함수의 근의 근사치보다 실제의 근에 더 가까운 값일 가능성이 높습니다. 그렇다고 한다면 이 방법을 한번 더 하면 더욱 가까워질 수 있을 것입니다. 이런 식으로 특정한 근을 구할 수 있습니다.

수식을 사용한 설명

폐구간 $[a,b]$ 에서 실수 $ℝ$ 에 대해 정의된 함수 $f:[a,b]\to ℝ$이 미분가능할 때,

$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}$

과 같은 식으로 시작하여

임의의 $x_n$에 대해서 $x_{n+1}$이

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$

가 되도록 계속 반복하면 특정 조건 하에 $x_n$은 점점 함수 $f(\alpha )=0$ 을 만족하는 값 $\alpha$ 에 수렴하게 됩니다. 이런 식으로 값을 구하는 것이 바로 뉴튼 방법입니다.