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파동 함수 (波動函數, Wave function) 는 양자 역학적 계의 상태에 대한 정보를 담고 있는 복소 함수입니다.

형태

파동 함수 $\psi (x,y,z,t)$는 그 자체 만으로는 물리적인 의미를 갖지 못하지만 $\psi (x,y,z,t)$라는 특정한 위치, 시간에 있을 때 절댓값의 자승인 $|\psi {|}^2$ 은 그 위치에서 그 시간에 물체를 발견할 확률을 나타냅니다.

파동 함수는 반드시 실수로 표현되지는 않기에 실수부와 허수부를 갖는 복소함수를 고려하여 아래와 같은 형태로 표현합니다.

$\psi =A+iB$ (단, $A,B$ 는 실수함수)

그리고 파동 함수 $\psi$의 복소공액인 ${\psi }^{*}$ 는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

${\psi }^{*}=A-iB$ (단, $A,B$ 는 실수함수)

위 식을 이용하여 파동 함수의 절댓값을 계산하면 아래와 같습니다.

$|\psi {|}^2=\psi {\psi }^{*}=A^2-i^2{B}^2=A^2+B^2$

즉, 파동 함수의 계산 결과는 항상 양의 실수가 나오게 됩니다.

규격화

파동 함수 $\psi$의 절댓값의 자승인 $|\psi {|}^2$ 은 그 위치와 그 시간에서 물체를 발견할 확률과 비례하므로, $|\psi {|}^2$ 를 모든 공간에 대해 적분했을 때 $0$ 이나 $\mathrm{\infty }$ 의 값이 나올 수 없습니다. 또한 $|\psi {|}^2$ 은 정의에 따라 음수나 복소수가 될 수가 없기 때문에 유한한 양이어야 합니다.

규격화에 있어서는 $|\psi {|}^2$ 이 $\psi$ 에 의해 기술되는 입자를 발견할 확률밀도 $P$에 비례한다고 하는 것보다 $P$와 같다고 하는 것이 편한데, 만약 $|\psi {|}^2$ 이 $P$와 같다면 아래와 같은 식들이 성립합니다.

모든 시간에서 입자는 어딘가에 존재해야 하므로

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}PdV=1$

이며 따라서

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|\psi {|}^{2}dV=1$

와 같이 나타낼 수 있습니다. 이러한 식을 만족시키는 파동 함수를 규격화되었다고 표현합니다. 모든 물리적인 의미를 가지는 파동 함수들은 적당한 상수를 곱하는 방식으로 항상 규격화할 수 있습니다.