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선형변환 (線型變換, linear transformation) 은 벡터 합과 스칼라 곱을 만족하는 벡터 공간에 대한 함수입니다.

정의

체 $K$를 기반으로 한 벡터 공간 $V$, $W$가 있을 때,
$V$에 속하는 임의의 두 벡터 $x,y$에 대해

$f(x+y)=f(x)+f(y)$

가 성립하며, 또한 $K$에 속하는 임의의 스칼라 $a$에 대해

$f(ax)=af(x)$

를 만족하는 함수 $f:V\to W$를 선형변환이라고 합니다.

위의 정의를 이용하면 모든 선형변환은 벡터 $x_1,\cdots ,x_m$와 스칼라 $a_1,\cdots ,a_m$에 대해

$f(a_1{x}_1+\cdots +a_m{x}_m)=a_{1}f(x_1)+\cdots +a_{m}f(x_m)$

의 공식을 만족한다고 할 수도 있습니다.

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