1729

1729는 재밌는 수다.

특징

• 소인수분해는 $7\times 13\times 19$로 된다. 7, 13, 19는 공차가 6씩 나는 소수들이다.
  • $7\times 13=91$이므로 $91\times 19$로 표현 가능하다.
  • $7\times 19=133$이므로 $13\times 133$로 표현 가능하다.
  • 따라서 약수는 6개이고, 모든 약수들의 합은 2238이며, 1729와 서로소인 1729 이하의 자연수는 1296($2^4\cdot 3^4$)개다.
• 서로 다른 두 세제곱수의 합으로 나타내는 방법이 여러 개인 가장 작은 수다. $1729=9^3+10^3=1^3+12^3$
• 모든 정수 $a$에 대해 $a^p\equiv a(\mathrm{mod}p)$를 만족하는 합성수(카마이클 수)로, 이런 합성수 중에서는 3번째로 작다.
  • 가장 작은 카마이클 수인 561과는 서로소이다. 한편, 두번째로 작은 카마이클 수인 1105는 561과 1729에 대해 각각 1이 아닌 공약수를 갖는다.
  • 자연수 $k$에 대해 $6k+1$, $12k+1$, $18k+1$이 모두 소수일 경우, $(6k+1)(12k+1)(18k+1)$은 카마이클 수가 되는데, 1729는 그 중 가장 작은 수다.