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미분 (微分, Derivative) 은 함수의 순간변화율 (미분계수) 을 구하는 계산 과정을 뜻합니다.

개요

미분은 원래 특정한 그래프를 분석하는 방법으로 시작하였으나 일반적인 단계까지 확장되었기 때문에, 어떤 함수 $f(x)$ 가 있을 때 $f(x)$ 의 특정 구간을 정의역으로 하고 그 구간에서의 모든 미분계수를 치역으로 한 함수인 도함수 $f'(x)$ 를 구하는 과정을 미분이라고 하는 경우가 많습니다. 이 과정을 ' $f(x)$ 를 $x$ 에 대해 미분한다'라고 합니다.

설명

평균변화율과 순간변화율

미분을 이해하기 위해서는 우선 평균변화율과 순간변화율이라는 개념을 이해해야 합니다. 이 개념들을 통해 도함수라는 것이 무엇인지 알 수 있으며, 도함수를 구하는 것이 미분의 목적이기 때문입니다.

어떤 함수가 있는데, 그 함수의 이름이 $f(x)$ 라는 가정을 해봅시다. 그리 예쁜 이름 같지는 않지만, 이름을 붙여주면 한 떨기 함수조차도 우리에게 의미있는 것으로 다가옵니다. 이 $f(x)$ 에서 $x$ 값이 어떤 지점 $a$ 에서부터 $a+\Delta x$ 까지 변하는 경우가 있습니다. 그러니까, $a$ 에서 출발하여 $\Delta x$ 라는 거리만큼 떨어져 있는 녀석까지의 구간이 있는 것이지요.

이때, $x$ 가 변하는 것에 따라 $y$ 값 역시 변할 것입니다. $y$ 가 변한 만큼의 값 ( $\Delta y$ ) 을 $x$ 가 변한 만큼의 값 ( $\Delta x$ ) 으로 나누면 아래와 같습니다.

{\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}}

이것을 구간 $[a,a+\Delta x]$ 에서의 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle y} 의 평균변화율 (平均變化率) 이라고 정의합니다.

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle a + \Delta x = b} 로 놓고 이항하면 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \Delta x = b - a} 이므로, 위의 정의를 아래와 같이 나타낼 수도 있습니다.

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {f(b) - f(a)}{b - a}}

이것은 구간 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle [a, b]} 에서의 평균변화율이 되는 것입니다.

파일:미분 설명을 위한 그래프1.png

평균변화율을 기하학적으로 해석하는 것 역시 중요한데, 어떤 함수 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle y = f(x)} 가 있을 때, 구간 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle [a, a + \Delta x]} 에서의 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle y} 의 평균변화율은 이 함수에서 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle x} 좌표가 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle a} 인 점과 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle a + \Delta x} 인 점을 이어서 만든 직선의 기울기와 같습니다. 위의 괴상한 그래프에서 빨간색으로 표시된 점들을 이은 직선이 삼각형의 빗변을 이루며, 이 직선의 기울기가 구간 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle [a, a + \Delta x]} 에서의 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle y} 의 평균변화율입니다.

이제 아까 정의한 평균변화율에서 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \Delta x} 를 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle 0} 에 한없이 가깝게 보내는 경우를 생각해봅시다.

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x} }

이 극한값을 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle f(x)} 의 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle x = a} 에서의 순간변화율 (瞬間變化率) 또는 미분계수 (微分係數) 라고 부릅니다.

기하학적으로 해석해보자면, 함수 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle y = f(x)} 의 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle x = a} 에서의 순간변화율은 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle x} 좌표가 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle a} 인 점에 접하는 직선의 기울기를 의미합니다.

도함수

위에서 정의한 순간변화율을 보다 일반화시키기 위해 함수 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle y = f(x)} 에 있는 임의의 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle x} 에서의 순간변화율들을 전부 모으면 그 자체로 하나의 함수가 되며, 이것을 도함수 (導函數) 라고 합니다. 도함수는 아래와 같이 정의할 수 있습니다.

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} }

위의 식을 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle x} 에 관한 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle y} 의 도함수라고 하며, 기호로는 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle y', f'(x), \frac {dy}{dx}, \frac {d}{dx}f(x)} 등을 사용하여 표기합니다.

기하학적으로 해석해보자면, 도함수 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle f'(x)} 는 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle y = f(x)} 라는 함수 그래프 위의 임의의 점에서의 접선의 기울기를 의미합니다.

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