쌍곡선함수

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개요

쌍곡선함수의 정의는 다음과 같다.

삼각함수에 허수넣으면 나오는 녀석들이다.

$\sinh x$

$\sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

역함수 $\sinh^{-1} x$

이 함수의 역함수는 다음과 같이 구할 수 있다.
우선 구하고자 하는 역함수를 ?로 놓으면, $\sinh ? = x$
즉 $\frac{e^{?} - e^{- ?}}{2} = x$ 이다.
양변에 $e^{?}$ 를 곱하면, $\frac{e^{2 ?} - 1}{2} = e^{?} x$
양변에 2를 곱하면, $e^{2 ?} - 1 = 2 x e^{?}$
양변에 $2 x e^{?}$ 를 빼면, $e^{2 ?} - 2 x e^{?} - 1 = 0$
좌변을 적절히 변형하면, ${(e^{?} - x)}^{2} - x^{2} - 1 = 0$ 이 된다.
양변에 $x^{2} + 1$ 을 더하면, ${(e^{?} - x)}^{2} = x^{2} + 1$
양변을 풀면, $e^{?} - x = \pm \sqrt{x^{2} + 1}$
양변에 $x$ 를 더하면, $e^{?} = x \pm \sqrt{x^{2} + 1}$
그런데 $x - \sqrt{x^{2} + 1}$ 은 항상 0보다 작고^[1] $e^{x}$ 는모든 실수 $x$ 에 대해서 $e^{x} > 0$ 이 성립하므로 이것을 제외해 주면,< $e^{?} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$
양변에 자연대수를 취하면 마침내 ?를 구할 수 있다.
$? = \sinh^{- 1} x = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ .

$\cosh x$

$\cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$

역함수 $\cosh^{-1} x$

이 함수의 역함수는 다음과 같이 구할 수 있다.
우선 구하고자 하는 역함수를 ?로 놓으면, $\cosh ? = x$
즉 $\frac{e^{?} + e^{- ?}}{2} = x$ 이다.
양변에 $e^{?}$ 를 곱하면, $\frac{e^{2 ?} + 1}{2} = e^{?} x$
양변에 2를 곱하면, $e^{2 ?} + 1 = 2 x e^{?}$
양변에 $2 x e^{?}$ 를 빼면, $e^{2 ?} - 2 x e^{?} + 1 = 0$
좌변을 적절히 변형하면, ${(e^{?} - x)}^{2} - x^{2} + 1 = 0$ 이 된다.
양변에 $x^{2} + 1$ 을 더하면, ${(e^{?} - x)}^{2} = x^{2} - 1$
양변을 풀면, $e^{?} - x = \pm \sqrt{x^{2} - 1}$
양변에 $x$ 를 더하면, $e^{?} = x \pm \sqrt{x^{2} - 1}$
^[2] 양변에 자연대수를 취하면 마침내 ?를 구할 수 있다.
$? = \cosh^{- 1} x = {\begin{matrix} \ln (x + \sqrt{x^{2} - 1}) (0 < x < \infty) \\ \ln (x - \sqrt{x^{2} - 1}) (- \infty < x \leq 0) \end{matrix}$

$\tanh x$

$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$

역함수 $\tanh^{-1} x$

$\frac{e^{?} - e^{- ?}}{e^{?} + e^{- ?}} = x$
$e^{?} - e^{- ?} = x (e^{?} + e^{- ?})$
$e^{?} - e^{- ?} = x e^{?} + x e^{- ?}$
$e^{?} - x e^{?} - e^{- ?} - x e^{- ?} = 0$
$e^{2 ?} - x e^{2 ?} - 1 - x = 0$
$e^{?} = t$
$t^{2} - x t^{2} - 1 - x = 0$
$(1 - x) t^{2} = 1 + x$
$t^{2} = \frac{1 + x}{1 - x}$
$t = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$
$t = \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} (t > 0)$
$e^{?} = \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$
$? = \ln (\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}) = \tanh^{- 1} x = \frac{1}{2} {\ln (\frac{1 + x}{1 - x})} = \frac{1}{2} {\ln (1 + x) - \ln (1 - x)} = \frac{\ln (1 + x) - \ln (1 - x)}{2}$

표로 정리

표로 정리하면 다음과 같다.

함수	역함수
$\sinh x$	$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$
$\cosh x$	${\begin{matrix} \ln (x + \sqrt{x^{2} - 1}) (0 < x < \infty) \\ \ln (x - \sqrt{x^{2} - 1}) (- \infty < x \leq 0) \end{matrix}$
$\tanh x$	$\frac{\ln (1 + x) - \ln (1 - x)}{2}$

↑ $\sqrt{x^{2}} - \sqrt{x^{2} + 1}$ 인데 $\sqrt{x^{2}}$ 또한 증가함수이므로 $x^{2} < x^{2} + 1$ 이고 그러므로 $\sqrt{x^{2}} < \sqrt{x^{2} + 1}$ 이다.
↑ 이번 경우에는 $- 1 < x < 1$ 만 아니면 상관없다.

[1] $\sqrt{x^{2}} - \sqrt{x^{2} + 1}$ 인데 $\sqrt{x^{2}}$ 또한 증가함수이므로 $x^{2} < x^{2} + 1$ 이고 그러므로 $\sqrt{x^{2}} < \sqrt{x^{2} + 1}$ 이다.

[2] 이번 경우에는 $- 1 < x < 1$ 만 아니면 상관없다.

[1]

[2]

쌍곡선함수

개요

\(\sinh x\)

역함수 \(\sinh^{-1} x\)

\(\cosh x\)

역함수 \(\cosh^{-1} x\)

\(\tanh x\)

역함수 \(\tanh^{-1} x\)

표로 정리