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<math> \sum_{n = -\infty}^{\infty} e^{-\pi n^2 u} = u^{-1/2} \sum_{n= -\infty}^{\infty} e^{-\pi n^2 /u}</math> (1-1) | <math> \sum_{n = -\infty}^{\infty} e^{-\pi n^2 u} = u^{-1/2} \sum_{n= -\infty}^{\infty} e^{-\pi n^2 /u}</math> (1-1) | ||
이 식은 아래의 [[ | 이 식은 아래의 [[푸아송 합공식]](Poisson Summation Formula)에 의해 간단하게 유도된다. 여기서 함수 <math>f</math>가 푸리에 변환(Fourier Transformation)이 가능하고, <math>\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2 \pi ix\xi} dx</math>(푸리에 변환)이라고 놓을 때 | ||
<math> \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \hat{f}(n)</math> | <math> \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \hat{f}(n)</math> | ||
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{{숨김 시작|title= | {{숨김 시작|title=바이어슈트라스의 곱정리(Weierstrass product theorem)}} | ||
복소수 <math>\mathbb{C}</math> 전체에서 정칙인 함수(entire funciton) ''f(z)''의 차수(growth order, 충분히 절대값이 큰 z에 대해서 <math>|f(z)| \le A {\rm{exp}}(B|z|^{\rho})</math>를 만족하는 최소 ρ)를 <math>\rho_0</math>라고 놓자. 이때 m을 z=0에서의 f의 영점의 차수(f(z)=0일 때만, f(z)≠0이면 m=0), <math>a_1 , a_2 , \cdot\cdot\cdot a_n, \cdot\cdot\cdot</math>를 f의 0 아닌 근(중근일 경우 차수만큼 a<sub>i</sub>를 중복해서 쓴다.)이라고 가정하자. <math>k \le rho_0 \le k+1</math>를 만족하는 k와 초등인수 <math>E_k (z)= (1-z) {\rm{exp}}(z+{z^2}/2+\cdot\cdot\cdot+{z^k}/k)</math>, 차수가 k 이하인 P(z)에 대해서 <math>f(z)=e^{P(z)}z^m \prod_{n=1}^{\infty}E_k(z/a_n) </math> | 복소수 <math>\mathbb{C}</math> 전체에서 정칙인 함수(entire funciton) ''f(z)''의 차수(growth order, 충분히 절대값이 큰 z에 대해서 <math>|f(z)| \le A {\rm{exp}}(B|z|^{\rho})</math>를 만족하는 최소 ρ)를 <math>\rho_0</math>라고 놓자. 이때 m을 z=0에서의 f의 영점의 차수(f(z)=0일 때만, f(z)≠0이면 m=0), <math>a_1 , a_2 , \cdot\cdot\cdot a_n, \cdot\cdot\cdot</math>를 f의 0 아닌 근(중근일 경우 차수만큼 a<sub>i</sub>를 중복해서 쓴다.)이라고 가정하자. <math>k \le rho_0 \le k+1</math>를 만족하는 k와 초등인수 <math>E_k (z)= (1-z) {\rm{exp}}(z+{z^2}/2+\cdot\cdot\cdot+{z^k}/k)</math>, 차수가 k 이하인 P(z)에 대해서 <math>f(z)=e^{P(z)}z^m \prod_{n=1}^{\infty}E_k(z/a_n) </math> | ||
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=== 여담 === | === 여담 === | ||
Tom Apostol의 Analytic Number Theorey에서는 직접 | Tom Apostol의 Analytic Number Theorey에서는 직접 체비쇼프 함수 ψ(s)에 대해 구하는 대신 적분함수 <math> \psi_1 (s)=\int_{0}^{x} \psi(u) du \sim s^2 /2 </math>임을 보여서 증명하였다. 이 경우에는 위의 페론의 정리를 쓰지 않고 적분공식 <math> \int_{c-i \cdot \infty}^{c+i \cdot \infty} \frac{x^s}{s(s+1)}ds = \begin{cases} 0 & 0<a \le 1 \\ 1-1/a & 1 \le a \end{cases}</math>과 <math>\psi_1 (x) = \sum_{n\le x} \Lambda(n) (x-n)</math>를 이용해서 <math>\psi_1 (x) = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i \infty}^{c+ i \infty} \frac{x^{s+1}}{s(s+1)} \left( \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\right) ds </math>인 사실, 또한 이것을 이용해서 <math>\frac{\psi_1 (x)}{x^2}- 1/2{\left(1-1/x \right)}^2 =\frac{1}{2\pi i} \int_{c-i \infty}^{c+ i \infty} \frac{x^{s-1}}{s(s+1)} \left( - \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}-\frac{1}{s-1} \right)ds </math>(1)임을 증명한다. 그 다음에 σ≥1, 실수 t에 대해 <math>\zeta(\sigma+it) \neq 0</math>임을 확인한 후에 충분히 큰 실수 t에 대해서 <math> \left| \frac{\zeta'(1+it)}{\zeta(1+it)}\right| \leq M {(\ln t)}^9 </math>임을 통해서 적분(1)이 x가 커짐에 따라 수렴함을 보이면서 <math>\psi_1 (x) \sim x^2 /2 </math>임을 보일 수 있다. | ||
== Li(x)와 관계 == | == Li(x)와 관계 == | ||
로그적분 함수 <math> {\ | 로그적분 함수 <math> {\mathrm{Li}}(x)= \int_{2}^{\infty} {￦ln u} du</math> 에 대해서 <math> \pi(x) \sim {\mathrm{Li}}(x)</math>가 성립한다. | ||
두 함수간의 오차는 대략 | 두 함수간의 오차는 대략 | ||
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:<math>|\pi(x)- \operatorname{li}(x)|<\frac{\sqrt x\,\log x}{8\pi}</math>인 것이 알려져 있다. | :<math>|\pi(x)- \operatorname{li}(x)|<\frac{\sqrt x\,\log x}{8\pi}</math>인 것이 알려져 있다. | ||
두 함수의 크기를 비교할 경우 Li(x)>π(x)로 알려져 있고 실제로도 "거의 모든 x에 대해" 성립한다. 그러나 100% 맞지는 아닌데 영국의 수학자 리틀우드가 Li(x)<π(x)인 x가 존재함을 증명했다. <ref> [[:wikipedia:Prime Numbet Theorem]] 참조. </ref> | 두 함수의 크기를 비교할 경우 Li(x)>π(x)로 알려져 있고 실제로도 "거의 모든 x에 대해" 성립한다. 그러나 100% 맞지는 아닌데 영국의 수학자 리틀우드가 Li(x)<π(x)인 x가 존재함을 증명했다. <ref> [[:wikipedia:Prime Numbet Theorem]] 참조. </ref> 이후, 두 함수의 대소 관계가 무한히 역전함도 증명되었다. | ||
== 초등적인 증명 == | == 초등적인 증명 == | ||