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오일러 공식: 두 판 사이의 차이

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{{수학}}
{{토막글}}
{{극혐}}
{{진지병}}
{{복잡}}
== 개요 ==
오일러의 공식은 레온하르트 오일러가 발견한 정의다.얼마나 오사스러운지 보자!!!!!!!!!!!!!<br>
사람들은 이걸 존내 아름다운 공식이라고 하는데 사실은 존내 뜨악스럽고 히익스러운 놈이다.
== 오사스러운 정의 ==
<math>e^{ix}=\cos x+i\sin x,x\in\mathbb{R},i=\sqrt{-1}.</math>
 
== 이걸로 얼마나 무시무시하고 끔찍한 일을 할 수 있는가? ==
x에 <math>\pi</math>를 대입하면,
 
이런 눈깔이 터져나갈 듯한 혐짤이 탄생한다.
<math>e^{\pi i}=-1</math>
 
양변에 1 더하면,
 
<math>e^{\pi i}+1=0</math>
 
오 신이시여!!!!!
 
== 이걸로 ln i를 구해보자. ==
<math>\cos x=0</math>
 
일반해를 구하면,
 
<math>x=2n\pi\pm\frac{\pi}{2}</math>
 
이다.
 
즉 <math>\ln i=2n\pi i+\frac{\pi i}{2}</math>.
 
== 이걸로 i^i를 구해보자. ==
<math>i^i={e}^{i \ln i}=e^{-2n \pi-\frac{\pi}{2}}</math>
 
n=0이면
 
<math>i^i=e^{-\frac{\pi}{2}}</math>
 
== cosx의 새로운 정의 ==
위 식에서 <math>x</math>대신 <math>-x</math>를 대입하면.
 
<math>e^{-ix}=\cos\left ( -x \right )+i\sin\left ( -x \right )</math>
 
다시 정리하면,
 
<math>e^{-ix}=\cos\left ( x \right )-i\sin\left ( x \right )</math>
 
이걸 제 1식.
 
오일러의 항등식인
 
<math>e^{ix}=\cos x+i\sin x</math>
 
을 제 2식이라고 하면,
 
제1식+제2식하면,
 
<math>e^{ix}+e^{-ix}=\cos x+\cos x\cancel{+i\ \sin x}\cancel{-i\ \sin x}</math>
 
<math>2\cos x=e^{ix}+e^{-ix}</math>
 
<math>\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}</math>
 
== sinx의 새로운 정의 ==
제1식=오일러의 항등식=<math>e^{ix}=\cos x+i\sin x</math>.
 
제2식=<math>e^{-ix}=\cos x-i\sin x</math>.
 
제1식-제2식 하면.
 
<math>e^{ix}-e^{-ix}=\cancel{\cos x}+i\sin x\cancel{-\cos x}+i\sin x</math>
 
<math>e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin x</math>
 
양변을 2i로 나누면.
 
<math>\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=\sin x</math>
 
분모와 분자에 각각 i를 곱해주면.
 
<math>\frac{i\left ( e^{ix}-e^{-ix} \right )}{-2}=\sin x</math>
 
분모와 분자에 각각 -1을 곱해주면.
 
<math>\frac{-i\left ( e^{ix}-e^{-ix} \right )}{2}=\sin x</math>.
 
== tanx의 새로운 정의 ==
<math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\frac{-i\left ( e^{ix}-e^{-ix} \right )}{2}}{\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}</math>
 
분모와 분자에 각각 2를 곱해주면.
 
<math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{-i\left ( e^{ix}-e^{-ix} \right )}{e^{ix}+e^{-ix}}</math>
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