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로그 (Logarithm, $\log$) 는 어떤 수를 나타내기 위해 고정된 밑을 얼마나 곱해야 하는지를 나타내는 함수입니다.

개요

로그 (Logarithm, $\log$) 는 어떤 수를 나타내기 위해 고정된 밑을 얼마나 곱해야 하는지를 나타내는 함수입니다. 1614년에 영국의 수학자 존 네이피어에 의해 발명되었으며, 복잡한 단위의 계산이나 큰 수를 다루는 것에 있어서 매우 유용하기 때문에 물리학, 화학, 천문학 등의 분야에도 널리 사용되고 있습니다.

정의

다양한 방법으로 로그를 정의할 수 있으나, 그 중에서도 가장 간단한 방법을 생각해봅시다.

임의의 수 $a$가 있고 $a$는 $0$보다 크며 $1$이 아니라고 생각해보면, 임의의 양수 $N$에 대해 $a^m=N$을 만족하는 $m$은 오직 하나만 존재합니다.

이러한 경우에 지수인 $m$은 $a$를 밑으로 하는 $N$의 로그라고 정의할 수 있으며,

$m={\log }_{a}N$

으로 나타냅니다. 이때 $N$을 ${\log }_{a}N$의 진수라고 합니다.

성질

로그에는 특유의 성질이 있습니다. $a>0$ 이고 $M>0,N>0$인 경우, 아래와 같은 식이 성립합니다.

• ${\log }_{a}a=1$
• ${\log }_{a}1=0$
• ${\log }_{a}MN={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$
• ${\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$
• ${\log }_a{M}^n=n{\log }_{a}M$ (단, $n$은 실수입니다.)

그 외에 $a>0$이고 $a$가 1이 아니며 $b>0$일때 아래와 같은 식이 성립하며, 이를 밑의 변환 공식이라고 부르기도 합니다.

• ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$ (단, $c>0$이며 $c\ne 1$)
• ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$ (단, $b\ne 1$)

증명

우선 ${\log }_{a}a=1$임과 ${\log }_{a}1=0$임을 증명해봅시다. 지수법칙과 로그의 정의를 이용하여 쉽게 증명할 수 있습니다.

• $a$는 곧 $a^1$이므로 ${\log }_{a}a=1$입니다.
• $a^0$는 $1$이므로 ${\log }_{a}1=0$입니다.

다음으로 ${\log }_{a}MN={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$임과 ${\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$, 그리고 ${\log }_a{M}^n=n{\log }_{a}M$임을 증명해봅시다.

• ${\log }_{a}M=m,{\log }_{a}N=n$으로 놓으면 로그의 정의에 따라 $a^m=M,a^n=N$이 되고, 둘을 곱하면 $a^m\times a^n=MN$입니다. 이는 지수법칙에 따라 $a^{m+n}=MN$으로 나타낼 수 있습니다. 다시 로그의 정의에 따라 로그를 취하면 ${\log }_{a}MN=m+n$이므로 ${\log }_{a}MN={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$입니다.

• ${\log }_{a}M=m,{\log }_{a}N=n$으로 놓으면 로그의 정의에 따라 $a^m=M,a^n=N$이 됩니다. 따라서 $\frac{a^m}{a^n}=\frac{M}{N}$이 되며 이는 지수법칙에 따라 $a^{m-n}=\frac{M}{N}$으로 표기할 수 있습니다. 다시 로그의 정의에 따라 로그를 취하면 ${\log }_a\frac{M}{N}=m-n$이므로 ${\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$입니다.

• ${\log }_{a}M=x$로 놓으면 로그의 정의에 따라 $a^x=M$이 됩니다. 따라서 $a^{nx}=M^n$이 되며, 로그의 정의에 따라 로그를 취하면 ${\log }_a{M}^n=nx$이므로 ${\log }_a{M}^n=n{\log }_{a}M$입니다.

마지막으로 밑의 변환 공식인 ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$와 ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$를 증명해봅시다.

• ${\log }_{a}b=m$으로 놓으면 $a^m=b$입니다. 여기에서 양변에 $c$ (단, $c>0$이며 $c\ne 1$) 를 밑으로 하는 로그를 취하면 ${\log }_c{a}^m={\log }_{c}b$이므로 $m{\log }_{c}a={\log }_{c}b$가 되기에 $m=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$입니다.

• ${\log }_{a}b=m$으로 놓으면 $a^m=b$입니다. 여기에서 양변에 $b$ (단, $b>0$이며 $b\ne 1$) 를 밑으로 하는 로그를 취하면 $lo{g}_b{a}^m={\log }_{b}b$이므로 $m{\log }_{b}a=1$이 되며, 이항하면 $m=\frac{1}{{\log }_{b}a}$입니다. 따라서 ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$입니다.