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$E=m{c}^2$

特殊相對性理論 / spezielle Relativitätstheorie / special theory of relativity

개요

특수 상대성 이론 (特殊相對性理論) 은 광속에 가까운 속도로 운동하는 물체들을 다루는 역학 이론입니다.

가정

특수 상대성 이론은 두 가지의 가정에서 출발합니다. 갈릴레오 갈릴레이가 처음으로 생각했던 상대성 원리와 빛의 속도는 모든 관성 좌표계에서 동일하게 측정된다는 가정이 그것입니다.

로렌츠 변환

어떤 관성 좌표계 $O$에서 $t$시간에 $x,y,z$에서 $P$라는 사건이 일어났다고 생각해봅시다. 이때 $O$에 대해 x축 방향으로 일정한 속도 $v$로 움직이는 관성 좌표계 $O^{\prime }$에서는 사건 $P$가 $t^{\prime }$시간에 $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$에서 일어난다고 하면, $O$와 $O^{\prime }$에서 사건이 일대일 대응이 되어야 하기 때문에 $x$와 $x^{\prime }$ 사이의 관계는

$x^{\prime }=k(x-vt)$

가 됩니다.

특수 상대성 이론의 가정인 상대성 원리에 따라 두 관성 좌표계는 모든 물리 법칙이 같아야 하므로

$x=k(x^{\prime }+v{t}^{\prime })$

가 됩니다. 이때, 속도 $v$의 방향에 수직인 성분은 변하지 않기 때문에 $y^{\prime }=y,z^{\prime }=z$가 됩니다.

위의 첫 식에 두 번째 식을 대입하면

$x=k^2(x-vt)+kv{t}^{\prime }$

$t^{\prime }=kt+(\frac{1-k^2}{kv})x$

가 됩니다.

특수 상대성 이론의 또 다른 가정에 따라 광속은 모든 관성 좌표계에서 동일한 값을 가지기에

$x=ct,x^{\prime }=c{t}^{\prime }$

라고 서술할 수 있습니다.

이제 여기에다가 위의 식들을 집어넣으면

$k(x-vt)=ckt+(\frac{1-k^2}{kv})cx$

$x=\frac{ckt+vkt}{k-(\frac{1-k^2}{kv})c}$

가 되며, 이것은 다시

$x=ct(\frac{k+\frac{v}{c}k}{k-\frac{1-k^2}{kv}c})=ct(\frac{1+\frac{v}{c}}{1-(\frac{1}{k^2}-1)\frac{c}{v}})$

로 정리할 수 있습니다.

여기에서 $(\frac{1+\frac{v}{c}}{1-(\frac{1}{k^2}-1)\frac{c}{v}})$ 부분이 1이 되면 $x=ct$가 되면서 두 관성 좌표계에서 광속이 같습니다.

$\therefore k=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

여기에서 유도된 $k$를 로렌츠 인자라고 부르며, 기호로는 흔히 $\gamma$를 사용하여 표기합니다.

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