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“Wir müssen wissen. Wir werden wissen. (우리는 알아야만 한다. 우리는 알 것이다.)”
- —다비트 힐베르트
파일:David Hilbert.jpg
David Hilbert
1862.1.23. ~ 1943.2.14.
개요
다비트 힐베르트 (David Hilbert) 는 19세기 말에서 20세기 중반까지 활동한 독일의 수학자입니다. 수학의 황제 (數學의 皇帝) 라는 별명이 있을 정도로 다양한 업적들을 남겼으며, 힐베르트 공간, 힐베르트 공리계 등이 대표적인 업적입니다. 1900년에 파리에서 열린 세계 수학자 대회에서 20세기에 풀어야 할 가장 중요한 문제 23가지를 선정하여 발표하기도 하였으며, 이는 힐베르트의 문제들 (Hilbert's problems) 이라고 불립니다. 알베르트 아인슈타인의 일반 상대성 이론을 수학적으로 정의하는 데에 핵심적인 역할을 하기도 했으며 기하학을 공리화하기도 했습니다. 그는 당대 수학계의 정신적인 지도자였으며, 현대 수학계의 흐름에도 그의 영향이 존재합니다.
수학을 더욱 완전하게 만들기 위해 수학의 제영역에 대한 연구를 평생동안 하였으며, 궁극적으로 수학 공리계의 무모순성을 입증할 수 있을 것이라고 생각했습니다. 힐베르트는 우선 연역 체계를 완벽하게 형식화하는 작업을 시도했습니다. 즉, 어떤 연역 체계 내부에 등장하는 모든 표현들에 있어 그것들이 지닌 자체적 의미를 모두 없애는 것입니다. 이렇게 내부의 모든 표현이 의미 없는 기호로 간주될 수 있으면 그것들을 결합하고 조작하는 방법은 명확하게 진술된 일련의 규칙들을 따르게 됩니다. 이런 것의 목적은 바로 숨겨진 것이 전혀 없는 상태에서 우리가 명확하게 부여한 의미들만을 담지하는 연산 체계를 구성하는 일입니다.
이 방식으로 연역적 과정에서 공인되지 않은 추론의 원리들이 전적으로 배제되어 형식적 연역 체계에 따라 논리적 관계들을 분석할 수 있게 됩니다. 즉, 무의미한 기호들의 다양한 형태가 가진 구조적 양식 (기호들이 결합되는 방식, 연결되는 순서 등의 구조적 패턴) 을 쉽게 볼 수 있는 것입니다. 이렇게 형식화된 수학의 무의미한 기호들은 아무것도 말하지 않습니다. 그것은 단지 일정한 구조를 가지고 있는 추상적 패턴이 되는 것입니다. 그렇지만 우리가 그러한 체계의 배열을 기술할 수 있고 그것들 사이의 다양한 관계들을 진술할 수 있음은 자명한 일입니다.
그 자체로는 무의미한 형식적 수학 체계에 관해 언급하는 유의미한 진술 그 자체는 무의미한 수학적 체계에 속하지 않습니다. 이러한 진술들을 상위 수학 (Meta-mathematics) 이라는 영역으로 생각할 수 있습니다. 상위 수학의 진술들은 형식화된 수학적 체계―연산 체계에 등장하는 기호들에 대해 언급하는 진술들이 되며, 이것을 통해 형식문을 만들 수 있고 또 형식문들을 기술하는 언어가 되는 것입니다. 궁극적으로는 무한한 기호적 체계보다 상위에 있는 유한한 진술들의 체계를 통해서 정합성을 증명하는 것이 힐베르트의 목표였습니다.
힐베르트는 모든 수학적 연산이 형식문들이 지닌 어떤 기하학적 패턴으로 확인되며, 그 기하학적 패턴들은 상호 간의 유한한 구조적 관계를 유지하고 있으리라는 생각을 했습니다. 즉, 어떤 연산 체계 내부의 표현들이 지닌 구조적 성질들을 모두 조사함으로써 형식적으로 모순되는 두 가지 이상의 형식문들이 그 연산 체계의 공리와는 무관한―그 공리들로부터 연역될 수 없는―것임을 밝히려고 했던 것입니다. 이렇게 형식문들의 무한한 구조적 성질이나 형식문들에 적용되는 무한한 연산을 언급하지 않는 절차만으로 정합성을 증명하려는 것을 유한한 단계를 가진 절차라고 하며 이 조건을 만족시키는 정합성 증명을 절대적 증명이라고 합니다.
그러나 수학의 무모순성이라는 문제에 관심을 가졌던 쿠르트 프리드리히 괴델이 발견한 불완전성 정리에 의해 어떤 공리계에서 진위를 판정할 수 없는 명제가 반드시 존재하기에 수학은 자신의 무모순성을 증명할 수 없다는 사실이 밝혀지면서 힐베르트의 시도는 실패로 돌아가게 되었습니다.