부분적분법

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부정적분

부분적분법은 다음과 같다.

두 함수 f(x),g(x)가 미분가능할 때 다음이 성립한다.
$\int f\left(x\right)g'\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f'\left(x\right)g\left(x\right)dx$

예제 1

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int xe^{x}dx}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f\left(x\right)=x,g'\left(x\right)=e^{x}}
$f'\left(x\right)=1,g\left(x\right)=e^{x}+C$
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x\left(e^{x}+C\right)-\int \left(e^{x}+C\right)dx}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle xe^{x}+Cx-\left(\int e^{x}dx+\int Cdx\right)}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle xe^{x}+Cx-\int e^{x}dx-C\int 1dx}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle xe^{x}+Cx-e^{x}-Cx+D}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle xe^{x}+{\bcancel {Cx}}-e^{x}{\bcancel {-Cx}}+D}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle xe^{x}-e^{x}+D}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle e^{x}\left(x-1\right)+D}

예제 2

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int x\cos xdx}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f\left(x\right)=x,g'\left(x\right)=\cos x}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f'\left(x\right)=1,g\left(x\right)=\sin x}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x\sin x-\int \sin xdx}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x\sin x+\cos x+C}

LIATE 기법

LIATE는 각각 대수함수,역삼각함수,다항함수,삼각함수,지수함수를 말하는데 여기서 앞에 있는 것을 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f\left(x\right)} 에 넣고
나머지 함수를 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle g'\left(x\right)} 에 넣으면 좀 더 수월하게 부정적분을 구할 수 있다.

예제 3

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int e^{x}\sin xdx}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f\left(x\right)=\sin x,g'\left(x\right)=e^{x}}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos xdx}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos xdx}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int e^{x}\cos xdx}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f_{1}\left(x\right)=\cos x,g_{1}'\left(x\right)=e^{x}}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f_{1}'\left(x\right)=-\sin x,g_{1}\left(x\right)=e^{x}}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle e^{x}\cos x+\int e^{x}\sin xdx}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int e^{x}\sin xdx=e^{x}\sin x-e^{x}\cos x-\int e^{x}\sin x}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 2\int e^{x}\sin xdx=e^{x}\left(\sin x-\cos x\right)+C}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int e^{x}\sin xdx={\frac {e^{x}\left(\sin x-\cos x\right)}{2}}+C}

예제 4

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int e^{x}\cos xdx}
$f\left(x\right)=e^{x},g'\left(x\right)=\cos x$
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f'\left(x\right)=e^{x},g\left(x\right)=\sin x}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle e^{x}\sin x-\int e^{x}\sin xdx}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle e^{x}\sin x-\left\{{\frac {e^{x}\left(\sin x-\cos x\right)}{2}}\right\}+C}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {2e^{x}\sin x-e^{x}\sin x+e^{x}\cos x}{2}}+C}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {e^{x}\sin x+e^{x}\cos x}{2}}+C}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {e^{x}\left(\sin x+\cos x\right)}{2}}+C}

예제 5

구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int \cos x\ln \left|\sin x\right|dx}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f\left(x\right)=\ln \left|\sin x\right|,g'\left(x\right)=\cos x}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f'\left(x\right)={\frac {\cos x}{\sin x}},g\left(x\right)=\sin x}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \sin \left(x\right)\ln \left|\sin x\right|-\int \cos xdx}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \sin \left(x\right)\ln \left|\sin x\right|-\sin x+C}
구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \sin x\left(\ln \left|\sin x\right|-1\right)+C}

예제 6

• 1.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int x\sin xdx}
  
• 2.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f\left(x\right)=x,g'\left(x\right)=\sin x}
  
• 3.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f'\left(x\right)=1,g\left(x\right)=-\cos x}
  
• 4.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle -x\cos x+\int \cos xdx}
  
• 5.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle -x\cos x+\sin x+C}
  

예제 7

• 1.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int \ln xdx}
  
• 2.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f\left(x\right)=\ln x,g'\left(x\right)=1}
  
• 3.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f'\left(x\right)={\frac {1}{x}},g\left(x\right)=x}
  
• 4.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x\ln x-\int 1dx}
  
• 5.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x\ln x-x+C}
  
• 6.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x\left(\ln x-1\right)+C}
  

예제 8

• 1.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int \sin ^{n}xdx\left(n\geq 2,n\in \mathbb {N} \right)}
  
• 2.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int \sin ^{n-1}x\sin xdx}
  
• 3.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f\left(x\right)=\sin ^{n-1}x,g'\left(x\right)=\sin x}
  
• 4.일단 구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f\left(x\right)} 의 도함수를 구해 보자.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle } 이렇게 두면.
  
• 5.$f\left(u\right)=u^{n-1},u=\sin x$
  
• 6.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {dy}{du}}{\frac {du}{dx}}=\left(n-1\right)u^{n-2}\cos x}
  
• 7.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {dy}{du}}{\frac {du}{dx}}=\left(n-1\right)\left(\sin x\right)^{n-2}\cos x}
  
• 8.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f'\left(x\right)=\left(n-1\right)\left(\sin x\right)^{n-2}\cos x,g\left(x\right)=-\cos x}
  
• 9.$-\sin ^{n-1}x\cos x-\int \left\{\left(-\cos x\right)^{2}\left(n-1\right)\left(\sin x\right)^{n-2}\right\}dx$
  
• 10.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle -\sin ^{n-1}x\cos x+\int \left\{\left(\cos x\right)^{2}\left(n-1\right)\left(\sin x\right)^{n-2}\right\}dx}
  
• 11.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle -\sin ^{n-1}x\cos x+\left(n-1\right)\int \left\{\left(\cos x\right)^{2}\left(\sin x\right)^{n-2}\right\}dx}
  
• 12.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle -\sin ^{n-1}x\cos x+\left(n-1\right)\int \left\{\left(\cos ^{2}x\right)\left(\sin x\right)^{n-2}\right\}dx}
  
• 13.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle -\sin ^{n-1}x\cos x+\left(n-1\right)\int \left\{\left(1-\sin ^{2}x\right)\left(\sin x\right)^{n-2}\right\}dx}
  
• 14.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int \sin ^{n}xdx=-\sin ^{n-1}x\cos x+\left(n-1\right)\int \left\{\left(1-\sin ^{2}x\right)\left(\sin x\right)^{n-2}\right\}dx}
  
• 15.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int \sin ^{n}xdx=-\sin ^{n-1}x\cos x+\left(n-1\right)\int \left(\sin ^{n-2}x-\sin ^{n}x\right)dx}
  
• 16.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int \sin ^{n}xdx=-\sin ^{n-1}x\cos x+\left(n-1\right)\int \sin ^{n-2}xdx+\left(n-1\right)\int \left(-1\right)\sin ^{n}xdx}
  
• 17.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int \sin ^{n}xdx=-\sin ^{n-1}x\cos x+\left(n-1\right)\int \sin ^{n-2}xdx+\left(1-n\right)\int \sin ^{n}xdx}
  
• 18.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int \sin ^{n}xdx+\left(n-1\right)\int \sin ^{n}xdx=-\sin ^{n-1}x\cos x+\left(n-1\right)\int \sin ^{n-2}xdx}
  
• 19.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \left(n-1+1\right)\int \sin ^{n}xdx=-\sin ^{n-1}x\cos x+\left(n-1\right)\int \sin ^{n-2}xdx}
  
• 20.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle n\int \sin ^{n}xdx=-\sin ^{n-1}x\cos x+\left(n-1\right)\int \sin ^{n-2}xdx}
  
• 21.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \therefore \int \sin ^{n}xdx={\frac {-\sin ^{n-1}x\cos x}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}xdx\left(n\geq 2,n\in \mathbb {N} \right)}
  

예제 9

• 1.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int \cos ^{n}xdx}
  
• 2.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int \cos ^{n-1}x\cos xdx}
  
• 3.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f\left(x\right)=\cos ^{n-1}x,g'\left(x\right)=\cos x}
  
• 4.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle y=u^{n-1},u=\cos x}
  
• 5.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {dy}{du}}{\frac {du}{dx}}=\left(n-1\right)u^{n-2}\left(-1\right)\sin x}
  
• 6.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f'\left(x\right)=-\left(n-1\right)\left(\cos x\right)^{n-2}\sin x,g\left(x\right)=\sin x}
  
• 7.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int \cos ^{n}xdx=\cos ^{n-1}x\sin x-\int \left(-1\right)\left(n-1\right)\cos ^{n-2}x\sin ^{2}xdx}
  
• 8.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int \cos ^{n}xdx=\cos ^{n-1}x\sin x+\int \left(n-1\right)\cos ^{n-2}x\sin ^{2}xdx}
  
• 9.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int \cos ^{n}xdx=\cos ^{n-1}x\sin x+\int \left(n-1\right)\cos ^{n-2}x\left(1-\cos ^{2}x\right)dx}
  
• 10.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int \cos ^{n}xdx=\cos ^{n-1}x\sin x+\left(n-1\right)\int \cos ^{n-2}x\left(1-\cos ^{2}x\right)dx}
  
• 11.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int \cos ^{n}xdx=\cos ^{n-1}x\sin x+\left(n-1\right)\int \left(\cos ^{n-2}x-\cos ^{n}x\right)dx}
  
• 12.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int \cos ^{n}xdx=\cos ^{n-1}x\sin x+\left(n-1\right)\int \cos ^{n-2}xdx-\left(n-1\right)\int \cos ^{n}xdx}
  
• 13.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int \cos ^{n}xdx=\cos ^{n-1}x\sin x+\left(n-1\right)\int \cos ^{n-2}xdx+\left(1-n\right)\int \cos ^{n}xdx}
  
• 14.$\int \cos ^{n}xdx+\left(n-1\right)\int \cos ^{n}xdx=\cos ^{n-1}x\sin x+\left(n-1\right)\int \cos ^{n-2}xdx$
  
• 15.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \left(n-1+1\right)\int \cos ^{n}xdx=\cos ^{n-1}x\sin x+\left(n-1\right)\int \cos ^{n-2}xdx}
  
• 16.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle n\int \cos ^{n}xdx=\cos ^{n-1}x\sin x+\left(n-1\right)\int \cos ^{n-2}xdx}
  
• 17.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int \cos ^{n}xdx={\frac {\cos ^{n-1}x\sin x}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}xdx}
  

예제 10

• 1.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int \tan ^{n}x}
  
• 2.일단 다음과 같이 쪼갭니다.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int \tan ^{n-2}\tan ^{2}xdx}
  
• 3.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f\left(x\right)=\tan ^{n-2}x,g'\left(x\right)=\tan ^{2}x}
  
• 4.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int \tan ^{n-2}x\left(\sec ^{2}x-1\right)dx} 을 구해보기 위해 다음과 같이 놓습니다.
  
• 5.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int \tan ^{n-2}x\sec ^{2}xdx-\int \tan ^{n-2}xdx=\int \tan ^{n}xdx}
  
• 6.$f\left(x\right)=\tan ^{n-2}x,g'\left(x\right)=\sec ^{2}x$
  
• 7.구문 분석 실패 (변환 오류. 서버 ("https://wikimedia.org/api/rest_")가 보고했습니다: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f'\left(x\right)={\frac {\left(n-2\right)\tan ^{n-1}x}{\sin ^{2}x}},g\left(x\right)=\tan x}
  
• 8.구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \tan^{n-1}x+\left ( 2-n \right )\int \frac{\tan^{n}x}{\sin^{2}x}dx}
  
• 9.구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \tan^{n-1}x+\left ( 2-n \right )\int \tan^{n}x\csc^{2}xdx}
  
• 10.구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \tan^{n-1}x+\left ( 2-n \right )\int \tan^{n}x\left ( 1+\cot^{2}x \right )dx}
  
• 11.구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \tan^{n-1}x+\left ( 2-n \right )\int \left ( \tan^{n}x+\tan^{n-2}x \right )dx}
  
• 12.구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \tan^{n-1}x+\left ( 2-n \right )\left ( \int \tan^{n}xdx+\int \tan^{n-2}xdx \right )}
  
• 13.구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \tan^{n-1}x+\left ( 2-n \right )\int \tan^{n}xdx+\left ( 2-n \right )\int \tan^{n-2}xdx}
  
• 14.구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \tan^{n-1}x+\left ( 2-n \right )\int \tan^{n}xdx+\left ( 2-n \right )\int \tan^{n-2}x-\int \tan^{n-2}xdx=\int \tan^{n}xdx}
  
• 15.구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \tan^{n-1}x+\left ( 2-n-1 \right )\int \tan^{n-2}xdx=\int \tan^{n}xdx+\left ( n-2 \right )\int \tan^{n}xdx}
  
• 16.구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \tan^{n-1}x+\left ( 1-n \right )\int \tan^{n-2}xdx=\left ( n-2+1 \right )\int \tan^{n}xdx}
  
• 17.구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \tan^{n-1}x+\left ( 1-n \right )\int \tan^{n-2}xdx=\left ( n-1 \right )\int \tan^{n}xdx}
  
• 18.구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \frac{\tan^{n-1}x}{n-1}+\frac{-\left ( n-1 \right )}{n-1}\int \tan^{n-2}xdx=\int \tan^{n}xdx}
  
• 19.구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \frac{\tan^{n-1}x}{n-1}-\int \tan^{n-2}xdx=\int \tan^{n}xdx}
  

예제 11

\( \displaystyle \int \textrm{cosec}^{n}xdx\\ \displaystyle \int \textrm{cosec}^{n-2}x\textrm{cosec}^{2}xdx\\ \displaystyle y=u^{n-2},u=\textrm{cosec}x\\ \displaystyle \frac{dy}{du}=\left ( n-2 \right )u^{n-3},\frac{du}{dx}=-\cot x\textrm{cosec}x\\ \displaystyle \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\left ( 2-n \right )\textrm{cosec}^{n-3}x\cot x\textrm{cosec}x\\ \displaystyle \begin{cases} & f\left ( x \right )=\textrm{cosec}^{n-2}x,g'\left ( x \right )= \textrm{cosec}^{2}x\\ & f'\left (x \right )= \left ( 2-n \right )\textrm{cosec}^{n-2}x\cot x,g\left ( x \right )=-\cot x\\ \end{cases}\\ \displaystyle \int \textrm{cosec}^{n}xdx=-\textrm{cosec}^{n-2}x\cot x+\left ( 2-n \right )\int \textrm{cosec}^{n-2}x\cot^{2} xdx\\ \displaystyle \int \textrm{cosec}^{n}xdx=-\textrm{cosec}^{n-2}x\cot x+\left ( 2-n \right )\int \textrm{cosec}^{n-2}x\cot^{2} xdx\\ \displaystyle \int \textrm{cosec}^{n}xdx=-\textrm{cosec}^{n-2}x\cot x+\left ( 2-n \right )\int \textrm{cosec}^{n-2}x\left ( -1+ \textrm{cosec}^{2}x \right )dx\\ \displaystyle \int \textrm{cosec}^{n}xdx=-\textrm{cosec}^{n-2}x\cot x+\left ( 2-n \right )\int \left ( -\textrm{cosec}^{n-2}x+\textrm{cosec}^{n}x \right )dx\\ \displaystyle \int \textrm{cosec}^{n}xdx=-\textrm{cosec}^{n-2}x\cot x+\left ( n-2 \right )\int \textrm{cosec}^{n-2}xdx+\left ( 2-n \right )\int \textrm{cosec}^{n}xdx\\ \displaystyle \int \textrm{cosec}^{n}xdx+\left ( n-2 \right )\int \textrm{cosec}^{n}xdx=-\textrm{cosec}^{n-2}x\cot x+\left ( n-2 \right )\int \textrm{cosec}^{n-2}xdx\\ \displaystyle \left ( n-2+1 \right )\int \textrm{cosec}^{n}xdx=-\textrm{cosec}^{n-2}x\cot x+\left ( n-2 \right )\int \textrm{cosec}^{n-2}xdx\\ \displaystyle \int \textrm{cosec}^{n}xdx=\frac{-\textrm{cosec}^{n-2}x\cot x}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \textrm{cosec}^{n-2}xdx \)

적분상수?

사실 적분상수를 붙여도 소거되므로 상관없다.

• 0.여기서 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle G_1\left ( x \right )+C} 는 임의의 연속함수 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle g_{1}\left ( x \right )} 의 부정적분이다.
  그리고 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle f_1\left ( x \right )} 는 임의의 연속함수이고 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle D} 는 적분상수이다.
  
• 1.구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle f\left ( x \right )=f_1\left ( x \right ),g'\left ( x \right )=g_1\left ( x \right )}
  
• 2.구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle f'\left ( x \right )=f_1'\left ( x \right ),g\left ( x \right )=G_1\left ( x \right )+C}
  
• 3.구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle f_{1}\left ( x \right )\left \{ G_{1}\left ( x \right )+C \right \}-\int f'_{1}\left ( x \right )\left \{ G_{1}\left ( x \right )+C \right \}dx}
  
• 4.구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle f_{1}\left ( x \right )\left \{ G_{1}\left ( x \right )+C \right \}-\int \left \{ f'_{1}\left ( x \right )G_{1}\left ( x \right )+Cf'_{1}\left ( x \right ) \right \}dx}
  
• 5.구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle f_{1}\left ( x \right )\left \{ G_{1}\left ( x \right )+C \right \}-\left ( \int f'_{1}\left ( x \right )G_{1}\left ( x \right )dx+\int Cf'_{1}\left ( x \right )dx \right )}
  
• 6.구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle f_{1}\left ( x \right )\left \{ G_{1}\left ( x \right )+C \right \}-\left ( \int f'_{1}\left ( x \right )G_{1}\left ( x \right )dx\right )-\int Cf'_{1}\left ( x \right )dx}
  
• 7.구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle f_{1}\left ( x \right )\left \{ G_{1}\left ( x \right )+C \right \}-\int f'_{1}\left ( x \right )G_{1}\left ( x \right )dx-C\int f'_{1}\left ( x \right )dx}
  
• 8.구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle f_{1}\left ( x \right )G_{1}\left ( x \right )+Cf_{1}\left ( x \right )-\int f'_{1}\left ( x \right )G_{1}\left ( x \right )dx-Cf_{1}\left ( x \right )+D}
  
• 9.구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle f_{1}\left ( x \right )G_{1}\left ( x \right )+\cancel{Cf_{1}\left ( x \right )}-\int f'_{1}\left ( x \right )G_{1}\left ( x \right )dx\cancel{-Cf_{1}\left ( x \right )}+D}
• 10.구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle f_{1}\left ( x \right )G_{1}\left ( x \right )-\int f'_{1}\left ( x \right )G_{1}\left ( x \right )dx}
  

정적분

두 함수 f(x),g(x)가 미분가능하고 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이면,
구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \int_{a}^{b}f\left ( x \right )g'\left ( x \right )dx=\left [ f\left ( x \right )g\left ( x \right ) \right ]^{b}_{a}-\int_{a}^{b}f'\left ( x \right )g\left ( x \right )dx}