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2015년 7월 4일 (토) 14:23에 sudo>Sudo:Kyosu7님의 편집

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삼각함수의 덧셈 정리는 좌표평면 위의 단위원을 통해 증명할 수 있습니다. 우선 단위원을 그린 다음, <math>x</math>축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 각각 <math>\alpha, \beta</math>인 두 동경이 단위원과 만나는 점을 각각 <math>P, Q</math>라 합니다.

;코사인 덧셈 정리
두 점 <math>P, Q</math>의 좌표는 각각 <math>P(\cos \alpha, \sin \alpha), Q(\cos \beta, \sin \beta)</math>인데, 여기에서 두 점 사이의 [[거리]]를 구하는 공식을 사용하면
:<math>\overline {PQ}^2 = (\cos \beta - \cos \alpha)^2 + (\sin \beta - \sin \alpha)^2</math>
이 됩니다. 이것은 다시
:<math>= (\cos ^2 \beta + \sin ^2 \beta) + (\cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha) - 2(\cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \cos \alpha)</math>
가 되며, 이것은
:<math>= 2 - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)</math>
으로 정리할 수 있습니다.

여기에서 <math>\overline {OP} = \overline {OQ} = 1</math>이며 <math>\angle POQ = \alpha - \beta</math>이므로 [[제2 코사인 법칙]]을 활용하면
:<math>\overline {PQ}^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \times 1 \times 1 \times \cos (\alpha - \beta) = 2 - 2\cos (\alpha - \beta)</math>입니다.

따라서, 아래와 같은 덧셈 정리가 성립합니다.
:<math>\therefore \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta</math>

이 과정에서 <math>\beta</math> 대신에 <math>-\beta</math>를 집어넣으면
:<math>\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta</math>
와 같은 식을 얻을 수 있습니다.

;사인 덧셈 정리
또한, <math>\sin (\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta, \cos (\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta</math> 임을 이용하여 아래와 같이 <math>\sin (\alpha \pm \beta)</math>를 유도할 수 있습니다.

:<math>\sin (\alpha + \beta) = \cos \{\frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta)\} = \cos \{(\frac{\pi}{2} - \alpha) -\beta)\}</math>
:<math>= \cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) \cos \beta + \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha) \sin \beta = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta</math>
:<math>\therefore \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta</math>

여기에 <math>\beta</math> 대신 <math>-\beta</math>를 집어넣고 정리하면
:<math>\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta</math>
이 됩니다.

;탄젠트 덧셈 정리
<math>\tan</math> 덧셈 정리를 증명하기 위해서는 <math>\sin</math>과 <math>\cos</math> 덧셈 정리를 사용하는 것이 간편합니다.

:<math>\tan (\alpha + \beta) = \frac {\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)} = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}</math>

여기에서 분모와 분자를 <math>\cos \alpha \cos \beta</math>로 나누면
:<math>\frac {\frac {\sin \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} + \frac {\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{1 - \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}</math>
:<math>\therefore \tan (\alpha + \beta) = \frac {\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}</math>

여기에 <math>\beta</math> 대신 <math>-\beta</math>를 집어넣고 정리하면
:<math>\tan (\alpha - \beta) = \frac {\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}</math>

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