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'''로그''' (Logarithm, <math>\log</math>) 는 어떤 수를 나타내기 위해 고정된 [[밑]]을 얼마나 곱해야 하는지를 나타내는 함수입니다.

== 개요 ==
'''로그''' (Logarithm, <math>\log</math>) 는 어떤 수를 나타내기 위해 고정된 [[밑]]을 얼마나 곱해야 하는지를 나타내는 함수입니다. 1614년에 영국의 수학자 [[존 네이피어]]에 의해 발명되었으며, 복잡한 단위의 계산이나 큰 수를 다루는 것에 있어서 매우 유용하기 때문에 [[물리학]], [[화학]], [[천문학]] 등의 분야에도 널리 사용되고 있습니다.

== 정의 ==
다양한 방법으로 로그를 정의할 수 있으나, 그 중에서도 가장 간단한 방법을 생각해봅시다.

임의의 수 <math>a</math>가 있고 <math>a</math>는 <math>0</math>보다 크며 <math>1</math>이 아니라고 생각해보면, 임의의 양수 <math>N</math>에 대해 <math>a^m = N</math>을 만족하는 <math>m</math>은 오직 하나만 존재합니다.

이러한 경우에 [[지수]]인 <math>m</math>은 '''<math>a</math>를 밑으로 하는 <math>N</math>의 로그'''라고 정의할 수 있으며,
:<math>m = \log_a N</math>
으로 나타냅니다. 이때 <math>N</math>을 <math>\log_a N</math>의 진수라고 합니다.

=== 성질 ===
로그에는 특유의 성질이 있습니다. <math>a > 0</math> 이고 <math>M > 0, N > 0</math>인 경우, 아래와 같은 식이 성립합니다.

* <math>\log_a a = 1</math>
* <math>\log_a 1 = 0</math>
* <math>\log_a MN = \log_a M + \log_a N</math>
* <math>\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N</math>
* <math>\log_a M^n = n \log_a M</math> '''(단, <math>n</math>은 [[실수]]입니다.)'''

그 외에 <math>a > 0</math>이고 <math>a</math>가 1이 아니며 <math>b > 0</math>일때 아래와 같은 식이 성립하며, 이를 '''밑의 변환 공식'''이라고 부르기도 합니다.

* <math>\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}</math> '''(단, <math>c > 0</math>이며 <math>c \neq 1</math>)'''
* <math>\log_a b = \frac{1}{\log_b a}</math> '''(단, <math>b \neq 1</math>)'''

==== 증명 ====

우선 <math>\log_a a = 1</math>임과 <math>\log_a 1 = 0</math>임을 증명해봅시다. [[지수]]법칙과 로그의 정의를 이용하여 쉽게 증명할 수 있습니다.

* <math>a</math>는 곧 <math>a^1</math>이므로 <math>\log_a a = 1</math>입니다.
* <math>a^0</math>는 <math>1</math>이므로 <math>\log_a 1 = 0</math>입니다.

다음으로 <math>\log_a MN = \log_a M + \log_a N</math>임과 <math>\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N</math>, 그리고 <math>\log_a M^n = n \log_a M</math>임을 증명해봅시다.

* <math>\log_a M = m, \log_a N = n</math>으로 놓으면 로그의 정의에 따라 <math>a^m = M, a^n = N</math>이 되고, 둘을 곱하면 <math>a^m \times a^n = MN</math>입니다. 이는 지수법칙에 따라 <math>a^{m+n} = MN</math>으로 나타낼 수 있습니다. 다시 로그의 정의에 따라 로그를 취하면 <math>\log_a MN = m+n</math>이므로 <math>\log_a MN = \log_a M + \log_a N</math>입니다.

* <math>\log_a M = m, \log_a N = n</math>으로 놓으면 로그의 정의에 따라 <math>a^m = M, a^n = N</math>이 됩니다. 따라서 <math>\frac{a^m}{a^n} = \frac{M}{N}</math>이 되며 이는 지수법칙에 따라 <math>a^{m-n} = \frac{M}{N}</math>으로 표기할 수 있습니다. 다시 로그의 정의에 따라 로그를 취하면 <math>\log_a \frac{M}{N} = m-n</math>이므로 <math>\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N</math>입니다.

* <math>\log_a M = x</math>로 놓으면 로그의 정의에 따라 <math>a^x = M</math>이 됩니다. 따라서 <math>a^{nx} = M^n</math>이 되며, 로그의 정의에 따라 로그를 취하면 <math>\log_a M^n = nx</math>이므로 <math>\log_a M^n = n \log_a M</math>입니다.

마지막으로 밑의 변환 공식인 <math>\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}</math>와 <math>\log_a b = \frac{1}{\log_b a}</math>를 증명해봅시다.

* <math>\log_a b = m</math>으로 놓으면 <math>a^m = b</math>입니다. 여기에서 양변에 <math>c</math> (단, <math>c > 0</math>이며 <math>c \neq 1</math>) 를 밑으로 하는 로그를 취하면 <math>\log_c a^m = \log_c b</math>이므로 <math>m \log_c a = \log_c b</math>가 되기에 <math>m = \frac{\log_c b}{\log_c a}</math>입니다.

* <math>\log_a b = m</math>으로 놓으면 <math>a^m = b</math>입니다. 여기에서 양변에 <math>b</math> (단, <math>b > 0</math>이며 <math>b \neq 1</math>) 를 밑으로 하는 로그를 취하면 <math>log_b a^m = \log_b b</math>이므로 <math>m \log_b a = 1</math>이 되며, 이항하면 <math>m = \frac{1}{\log_b a}</math>입니다. 따라서 <math>\log_a b = \frac{1}{\log_b a}</math>입니다.
[[분류:Sudo위키/수학 개념]]
[[분류:Sudo위키/대수학]]

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