자이페르트-판 캄펀 정리 - 편집 역사

Utolee90: /* 증명 */

2017-10-05T11:03:58Z

증명

← 이전 판		2017년 10월 5일 (목) 20:03 판
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	우선 집합 A, B, X의 기본군(Fundamental Group)에 의해 생성되는 준동형사상(homomorphism) <math>\Phi_X : \pi_1 (A) \ast \pi_1 (B) \rightarrow \pi_1 (X)</math>가 전사(surjective)임을 보인다. 일단 기본군은 루프(loop)의 시작점과는 무관하므로 우리는 <math>A \cap B</math>위의 점 x를 밑점(base point)으로 하는 공간 X상에서 루프를 잡을 수 있다.		우선 집합 A, B, X의 기본군(Fundamental Group)에 의해 생성되는 준동형사상(homomorphism) <math>\Phi_X : \pi_1 (A) \ast \pi_1 (B) \rightarrow \pi_1 (X)</math>가 전사(surjective)임을 보인다. 일단 기본군은 루프(loop)의 시작점과는 무관하므로 우리는 <math>A \cap B</math>위의 점 x를 밑점(base point)으로 하는 공간 X상에서 루프를 잡을 수 있다.

			아래 그림을 참고하면 <math>A \cup B</math> 상의 루프 <math>x=\alpha \cdot \beta</math>를 가정하자. 그러면 x의 점 중 <math>A \cap B</math> 상에서의 점 <math>X_0, X_1</math>에 대해 x<sub>0</sub>과 x<sub>1</sub>를 잇는 경로를 γ라고 놓을 때 <math>x=\alpha \cdot \beta = \alpha \cdot \gamma \cdot {\gamma}^{-1} \cdot \beta </math>가 되며, <math>\alpha \cdot \gamma</math>는 A상의 루프, <math>\gamma^{-1} \cdot \beta</math>는 B상의 루프가 된다. 따라서 다음과 같은 전사함수 <math>\pi_1 (A) \ast pi_1 (B) \rightarrow \pi_1 (A \cup B) : c_1 \cdot c_2 \cdot \cdots \cdot c_r \rightarrow </math>를 만들 수 있다.

			[[파일:Seifert-Van Kampen1.png]]

			이제는 A와 B의 교집합 A∩B를 생각해보자. 그러면 연속인 단사함수 <math>i_1 : A \cap B \rightarrow A</math>와 <math>i_2 : A \cap B \rightarrow B</math>에 대해서 이것과 상응하는 근원군의 준동형사상 <math> c_1 : \pi_1 (A \cap B) \rightarrow \pi_1 ( A) </math>, <math>c_2 : \pi_1 (A \cap B) \rightarrow \pi_1 (B)</math>가 존재한다. 이제 군 <math>pi_1 (A \cap B)</math>의 생성자(generator)들을 <math>\omega_1 , \cdots </math>라고 놓자. 그러면 <math>c_1 (\omega_i )</math>는 상(image) <math>c_1 (\pi_1 (A \cap B))</math>의 생성자, 마찬가지로 <math>c_2 (\omega_i )</math>는 <math>c_2 (\pi_1 (A \cap B))</math>의 생성자가 된다.

			<math>\begin{matrix}
			\pi_1(A\cap B,c)&\to& \pi_1(A,c)\\
			\downarrow&&\downarrow\\
			\pi_1(B,c)&\to&\pi_1(X,c)
			\end{matrix}</math>


			또한 경로 <math>c=\omega \cdot \omega^{-1}</math>는 영경로이므로 <math>pi_1 (A \cup B)</math>에서는 자명하게 영경로가 된다. 이것은 <math>\pi_1(A) \ast \pi_1 (B)</math>에서 <math>c_1(\omega) \ast c_2(\omega^{-1})</math>이므로 <math>c_1(\omega) \ast c_2(\omega^{-1})</math>는 전사함수 <math>\pi_1 (A) \ast pi_1 (B) \rightarrow \pi_1 (A \cup B) : c_1 \cdot c_2 \cdot \cdots \cdot c_r \rightarrow </math>의 핵(kernel)이 된다.

			[[파일:Seifert-Van Kampen2.png]]

			마지막으로 주어진 전사함수의 <math>\pi_1 (A) \ast pi_1 (B) \rightarrow \pi_1 (A \cup B) : c_1 \cdot c_2 \cdot \cdots \cdot c_r \rightarrow </math> 핵의 생성자가 모두 위와 같은 형태임을 보인다. 우선 A∪B상의 루프 f를 분해한 값이 <math>f_1 f_2 \cdots f_r = g_1 g_2 \cdots g_s</math>라고 가정을 하자. 각각의 경로가 A 또는 B안에만 있다고 가정한다. 그러면 <math>f_1 \cdots f_r </math과 <math>g_1 \cdots g_s</math> 사이에서 [[호모토피]] <math>f: I \times I \rightarrow A \cup B</math>가 존재한다. 여기서 우리는 <math>R_ij : f_t \times g_u \rightarrow A \cup B</math>라고 놓을 경우 [0,1]×[0,1] 공간 상에서 적절히 조절하여

	== 예 ==		== 예 ==

Utolee90: /* 증명 */

2017-09-09T10:41:50Z

증명

← 이전 판		2017년 9월 9일 (토) 19:41 판
27번째 줄:		27번째 줄:
	다양한 증명방법이 있으나 여기서는 경로 연결 공간 두 개를 붙일 때만 생각한다. 세 개 이상일 때에는 모든 교집합 <math>A_{i_1} \cap \cdot\cdot\cdot A_{i_r}</math>들이 경로연결(Path-connected)을 보장해야 한다.		다양한 증명방법이 있으나 여기서는 경로 연결 공간 두 개를 붙일 때만 생각한다. 세 개 이상일 때에는 모든 교집합 <math>A_{i_1} \cap \cdot\cdot\cdot A_{i_r}</math>들이 경로연결(Path-connected)을 보장해야 한다.

	* 우선 집합 A, B, X의 기본군(Fundamental Group)에 의해 생성되는 준동형사상(homomorphism) <math>\Phi_X : \pi_1 (A) \ast \pi_1 (B) \rightarrow \pi_1 (X)</math>가 전사(surjective)임을 보인다.		우선 집합 A, B, X의 기본군(Fundamental Group)에 의해 생성되는 준동형사상(homomorphism) <math>\Phi_X : \pi_1 (A) \ast \pi_1 (B) \rightarrow \pi_1 (X)</math>가 전사(surjective)임을 보인다. 일단 기본군은 루프(loop)의 시작점과는 무관하므로 우리는 <math>A \cap B</math>위의 점 x를 밑점(base point)으로 하는 공간 X상에서 루프를 잡을 수 있다.

	== 예 ==		== 예 ==

Utolee90: 일단 조금씩 완성

2017-09-09T07:44:52Z

일단 조금씩 완성

← 이전 판		2017년 9월 9일 (토) 16:44 판
25번째 줄:		25번째 줄:
	* 출처 : Allen Hacther, Algebraic Topology		* 출처 : Allen Hacther, Algebraic Topology

	다양한 증명방법이 있으나 여기서는 경로 연결 공간 두 개를 붙일 때만 생각한다.		다양한 증명방법이 있으나 여기서는 경로 연결 공간 두 개를 붙일 때만 생각한다. 세 개 이상일 때에는 모든 교집합 <math>A_{i_1} \cap \cdot\cdot\cdot A_{i_r}</math>들이 경로연결(Path-connected)을 보장해야 한다.

			* 우선 집합 A, B, X의 기본군(Fundamental Group)에 의해 생성되는 준동형사상(homomorphism) <math>\Phi_X : \pi_1 (A) \ast \pi_1 (B) \rightarrow \pi_1 (X)</math>가 전사(surjective)임을 보인다.

	== 예 ==		== 예 ==

Utolee90: 문서문서 저장

2017-09-09T07:18:34Z

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[[대수적 위상수학]]에서, '''자이페르트-판 캄펀 정리'''(-定理, {{llang|en|Seifert–van Kampen theorem}})는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[기본군]]을 두 조각으로 쪼개어 계산할 수 있게 하는 정리이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 두 [[부분 공간]] <math>A, B\subseteq X</math>가 주어졌고, 다음 조건들이 성립한다고 하자.
* <math>\operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B=X</math>
또한, 부분 공간 <math>C\subseteq X</math>가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
* <math>A</math> 또는 <math>B</math> 또는 <math>A\cap B</math>의 임의의 [[경로 연결 성분]]과의 [[교집합]]은 [[공집합]]이 아니다.
그렇다면, '''자이페르트-판 캄펀 정리'''에 따르면 다음 명제들이 성립한다.
* <math>C</math>는 <math>X</math>의 모든 [[경로 연결 성분]]들과 교차한다.
* 포함 관계에 의하여 유도되는 다음과 같은 [[기본 준군]]의 사상들은 [[준군]] 범주에서의 [[밂 (범주론)|밂]]을 이룬다.
*:<math>\begin{matrix}
\Pi_1(A\cap B,C)&\to& \Pi_1(A,C)\\
\downarrow&&\downarrow\\
\Pi_1(B,C)&\to&\Pi_1(X,C)
\end{matrix}</math>

특히, <math>A</math>와 <math>B</math>가 [[경로 연결 공간]]이며, <math>C=\{c\}\subseteq A\cap B</math>는 [[한원소 집합]]이며, <math>A\cap B</math>는 [[공집합]]이 아닌 [[경로 연결 공간]]이라고 하자. 그렇다면 <math>X</math>는 [[경로 연결 공간]](Path-connected Space)이며, 다음과 같은, [[기본군]]의 (군의 범주에서의) [[밂 (범주론)|밂]]이 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
\pi_1(A\cap B,c)&\to& \pi_1(A,c)\\
\downarrow&&\downarrow\\
\pi_1(B,c)&\to&\pi_1(X,c)
\end{matrix}</math>

== 증명 ==
* 출처 : Allen Hacther, Algebraic Topology

다양한 증명방법이 있으나 여기서는 경로 연결 공간 두 개를 붙일 때만 생각한다.

== 예 ==
=== 원 ===
[[원 (기하학)|원]] <math>\mathbb S^1=\mathbb R/\mathbb Z</math>에서,
:<math>A=(-1/3,2/3)/\mathbb Z\subsetneq\mathbb S^1</math>
:<math>B=(1/3,4/3)/\mathbb Z\subsetneq\mathbb S^1</math>
를 생각하자. 또한
:<math>C=\{0,1/2\}/\mathbb Z\subsetneq A\cap B</math>
라고 놓자. 그렇다면, <math>A</math>와 <math>B</math> 및 <math>A\cap B</math>의 밑점 집합 <math>C</math>에서의 [[기본 준군]]은 다음과 같다. (항등 사상은 생략하였다.)
:<math>\Pi_1(A,C)\colon \overset{0}\bullet{\xrightarrow\phi\atop\xleftarrow[\phi^{-1}]{}}\overset{1/2}\bullet</math>
:<math>\Pi_1(B,C)\colon \overset{0}\bullet{\xrightarrow{\phi'^{-1}}\atop\xleftarrow[\phi']{}}\overset{1/2}\bullet</math>
:<math>\Pi_1(A\cap B,C)\colon \overset{0}\bullet\qquad\overset{1/2}\bullet</math>
따라서, 원의 기본은 <math>A</math>와 <math>B</math>의 준군들의 [[쌍대곱]]이다. 이 경우 항등 사상이 아닌 사상 <math>\phi'\circ\phi\colon 0\to 0</math>이 존재하므로, <math>\hom(0,0)</math> 및 <math>\hom(1/2,1/2)</math> 둘 다 [[무한 순환군]] <math>\mathbb Z</math>이다. <math>0</math>과 <math>1/2</math>는 <math>\Pi_1(\mathbb S^1,\{0,1/2\})</math>에서 서로 동형이다. 따라서 <math>\mathbb S^1</math>의 [[기본군]]은 [[무한 순환군]]이다.

=== 구 ===
2차원 이상의 [[초구]] <math>\mathbb S^n</math>에서, 세 개의 서로 다른 점 <math>a,b,c\in\mathbb S^n</math>를 잡고,
:<math>A=\mathbb S^n\setminus\{a\}</math>
:<math>B=\mathbb S^n\setminus\{b\}</math>
로 놓자. 그렇다면 <math>A</math>와 <math>B</math> 둘 다 <math>n</math>차원 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>과 [[위상 동형]]이며, 특히 [[축약 가능 공간]]이다. <math>A\cap B</math>는 기둥 <math>\mathbb S^{n-1}\times\mathbb R</math>와 [[위상 동형]]이다.

자이페르트-판 캄펀 정리에 따라, 다음이 성립한다.
:<math>\pi_1(\mathbb S^n,c)=\pi_1(A,c)*_{\pi_1(A\cap B,c)}\pi_1(B,c)</math>
그런데 <math>\pi_1(A)</math>와 <math>\pi_1(B)</math> 둘 다 [[자명군]]이므로, <math>\pi_1(\mathbb S^n)</math> 역시 [[자명군]]이다.

== 역사 ==
[[헤르베르트 자이페르트]]<ref>{{저널 인용|성=Seifert|이름= H.|저자고리=헤르베르트 자이페르트|제목=Konstruction dreidimensionaler geschlossener Raume|저널=Berichte der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse |권=83|날짜=1931|쪽=26–66|언어=de}}</ref>{{rp|§3, 33–36}}<ref>{{저널 인용|성=Seifert|이름=H.|제목=Topologie dreidimensionaler gefaserter Räume|저널=Acta Mathematica|권=60|날짜=1932|쪽=147-238|doi=10.1007/BF02398271|url=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/seifert3.pdf|언어=de}}</ref>{{rp|199}}와 [[에흐베르튀스 판 캄펀]]<ref>{{저널 인용|이름=Egbert R.|성=van Kampen|저자고리=에흐베르튀스 판 캄펀|제목=On the connection between the fundamental groups of some related spaces|저널=American Journal of Mathematics|권=55|날짜=1933|쪽=261–267|jstor=51000091|언어=en}}</ref>이 증명하였다. 로널드 브라운({{llang|en|Ronald Brown}})이 이를 [[기본 준군]]에 대하여 일반화하였다.<ref>{{저널 인용|이름=R.|성=Brown|제목=Groupoids and Van Kampen’s theorem|저널= Proceedings of the London Mathematical Society (third series)|권=17 |날짜=1967|호=3|쪽=385–401|doi=10.1112/plms/s3-17.3.385|언어=en}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용| last=Hatcher |first= Allen |title=Algebraic topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |날짜= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |zbl=1044.55001|mr=1867354|isbn=978-0-521-79540-1|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=vanKampensTheorem|title=van Kampen's theorem}}
* {{nlab|id=van Kampen theorem|title=Van Kampen theorem}}
* {{nlab|id=higher van Kampen theorem|title=Higher van Kampen theorem}}
* {{nlab|id=higher homotopy van Kampen theorem|title=Higher homotopy van Kampen theorem}}
* {{nlab|id=van Kampen colimit|title=Van Kampen colimit}}
* {{nlab|id=van Kampen theorem for toposes |title=Van Kampen theorem for toposes}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Seifert-van_Kampen_theorem|title=Seifert-van Kampen theorem|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://terrytao.wordpress.com/2012/10/28/van-kampens-theorem-via-covering-spaces/|제목=van Kampen’s theorem via covering spaces|이름=Terrence|성=Tao|저자고리=테런스 타오|날짜=2012-10-28|웹사이트=What’s New|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/102295/generalisations-of-the-seifert-van-kampen-theorem|제목=Generalisations of the Seifert-van Kampen Theorem? |출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/165630/what-was-seiferts-contribution-to-the-seifert-van-kampen-theorem|제목=What was Seifert's contribution to the Seifert-van Kampen theorem?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
{{퍼온문서|위키백과|자이페르트-판 캄펀 정리|19463129|일부}}

[[분류:대수적 위상수학]]