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	다양체는 국소적으로 [[유클리드 공간]]과 위상동형인 도형을 말한다.		다양체는 국소적으로 [[유클리드 공간]]과 위상동형인 도형을 말한다.

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Utolee90: 새 문서: '''도형'''(圖形, Shape)이란 기하학에서 다루는 객체, 다른 말로는 기하학적인 집합을 말한다. 이것은 테두리가 될 수도 있고, 속이 꽉 찬...

2017-03-03T17:37:20Z

새 문서: '''도형'''(圖形, Shape)이란 기하학에서 다루는 객체, 다른 말로는 기하학적인 집합을 말한다. 이것은 테두리가 될 수도 있고, 속이 꽉 찬...

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'''도형'''(圖形, Shape)이란 [[기하학]]에서 다루는 객체, 다른 말로는 기하학적인 집합을 말한다. 이것은 테두리가 될 수도 있고, 속이 꽉 찬 대상이 될 수도 있다. 예를 들면 [[삼각형]] 같은 경우 속이 꽉 찬 삼각형 그 자체를 도형이라고 부르기도 하고 삼각형의 세 변의 모임만을 도형이라고 부르기도 한다. 그냥 기하학에서 다루는 "눈에 보이는 그림으로 묘사할 수 있는 개체"를 모두 말한다고 생각하면 편하다.

== 도형이라고 부르는 것들 ==
도형은 기하학적인 객체 아무거나 정의할 수 있지만 보통은 [[위상공간]](Topological Space), 그 중에서도 [[거리공간]](Metric Space)의 부분집합에 한해서만 사용하는 경우가 많다. 이는

== 도형의 차원 ==
도형의 차원은 도형의 점 근방의 열린집합의 차원의 최댓값으로 정의한다. 일반적으로 내적(Inner Product)을 정의할 수 있는 [[유클리드 공간]]의 부분집합에 한해서만 정의하는 경우가 많다. [[유클리드 공간]](Euclidean Space)의 경우 선형독립(Linearly independent)인 벡터의 개수로 정의되며, 다양체(Manifold)읙 경우는 다양체와 국소적으로 [[위상동형]](homeomorphic)인 유클리드 공간의 차원으로 정의되며, 다양체들의 합집합으로 구성된 도형의 경우 가장 차원이 높은 다양체의 차원이 도형의 차원으로 정의되어 쉽게 정의된다.

=== 르베그 덮개 차원 ===
{{본문|Wikipedia:Lebesgue Covering Dimension}}
하지만 [[프랙탈]] 도형 등 가산개의 국소적으로 유클리드 공간과 위상동형인 도형으로 표현할 수 없는 경우에는 이 방법으로 차원을 정의하기 난감해진다. 그럴 때에는 [[르베그 덮개 차원]](Lebesgue Covering Dimension)을 이용해서 정의한다. 어떤 집합 X에 대한 열린 덮개(Open Cover) <math>\mathcal{C}</math>가 있을 때 아래와 같은 성질을 만족하는 열린 덮개의 세분(refinement) <math>\mathcal{U}</math>가 존재할 때 X의 르베그 덮개 차원은 n차원이 된다. 즉 임의의 열린 덮개를 정의해도 X위의 모든 점 x에 대해 x를 포함하는 열린집합이 n+1개를 넘지 않는 세분이 존재하면 된다.

<math>\max_{x \in X} \vert \{V \ni x| V \in \mathcal{U} \} \vert = n+1 </math>

얼핏 봐서는 상당히 이해하기 힘든 개념이기에 아래의 도형을 한 번 생각해보자. 아래의 정사각형의 경우, 열린 덮개를 아무리 잡아도 기껏해야 한 점을 포함하는 열린집합이 3개 이하인 세분(refinement)을 만들 수 있다. 그러나 열린 덮개의 최대한의 교차하는 숫자가 2가 되게 만들려고 하면 아래와 같이 빈 공간이 생긴다. 즉 사각형의 르베그 덮개 차원은 2이다.

[[파일:Refinement on a planar shape.png|400px]]

=== 하우스도르프 차원 ===
{{본문|Wikipedia:Hausdorff dimension}}
[[프랙탈]] 도형의 경우에는 특별히 하우스도르프 차원(Hausdorfff Dimension)이라고 부르는 다른 차원이 존재한다. 이는 프랙탈 도형에서 반복되는 도형의 갯수와 나눈 갯수를 이용해서 구할 수 있다. 이 경우에는 차원의 값이 정수가 아닌 소수로 나올 수 있다. 대략적인 정의를 살펴보자면

<math>\dim X = \frac{\ln (\text{Number of self-similar objects})}{\ln (\text{Ratio of measures of original objects related to partitoned objects})}</math>

역시 아래와 같이 정사각형을 보면 가로/세로로 2등분할 때에 원래의 정사각형과 닮은꼴인 4개의 정사각형이 나타나므로 하우스도르프 차원은 ln4/ln2 = 2로 나온다.

다른 예를 들어본다. [[칸토르 집합]](Cantor Set)의 경우, 폐구간의 가운데 1/3을 계속해서 제거하는 방식으로 만들 수 있는데, 이 경우는 원래의 크기의 1/3 측도를 가진 도형이 2개가 있는 꼴이므로 하우스도르프 차원은 ln2/ln3≒0.6309... 차원이 나온다.

또 다른 예로 [[시에르핀스키 삼각형]](Sierpinski Triangle)의 경우 정삼각형을 4등분한 뒤에 가운데 삼각형을 제거하는 방식으로 만들어지는데, 이 경우는 원래의 크기의 1/2 측도를 가진 도형이 3개가 있는 형태이므로 하우스도르프 차원은 ln3/ln2≒1.5849...차원이 나온다.

== 도형의 종류 ==
도형의 차원에 따라서 점(0), 선(1), 면(2), 입체(3), 초입체(≥4) 등으로 분류할 수 있다. 또한 도형 중에서 모든 점에서 국소적으로 매끄러운(smooth) 도형과 그렇지 않은 도형이 있으며, 특히 모든 점에서 국소적으로 동일한 차원의 [[유클리드 공간]]과 [[위상동형]]이 되는 매끄러운 도형을 [[다양체]](Manifold)라고 부른다.

== 차원에 따른 분류 ==
=== [[점]] ==
0차원 도형이다. 점은 길이나 부피 등의 어떠한 측도도 갖지 않는다. 점들이 유한개 모인 것도 도형이며,
=== [[선]] ===
1차원 도형으로 점들이 이루어진 도형이다.
* [[직선]] (Straight Line)- 유클리드 공간에서 하나의 방향으로 한결같이 연결된 선을 말한다.
** [[선분]] (Line Segment) - 양 끝이 존재하는 직선을 말한다. 일반적으로는 방향을 정의하지 않으나 시작점과 끝점을 정의하는 유향선분(Directed Line Segment)도 존재한다.
** [[반직선]] (Ray) - 한쪽 방향은 끝이 있으며, 다른 쪽 방향은 무한정 연장되는 선을 말한다.
* [[측지선]](Geodesic) 유클리드 공간이 아닌 경우에는 유클리드 공간의 직선에 상응하는 것을 정의할 수 없기에 방향벡터의 변화가 없는 측지선이라는 개념을 대신 사용한다.
* [[곡선]] (Curve) - 직선이 아닌 임의의 선을 말한다. 특정한 점에서 곡선의 방향은 곡선의 점에서 국소적으로 일치하는 직선의 방향으로 정의하며, 방향이 연속적으로 바뀌는 곡선을 부드러운 곡선(smooth curve)라고 부른다.
* 평면도형의 변, 좌표평면의 그래프가 대표적으로 선 형태의 도형이다.

=== 2차원 도형 ===
* [[평면]](Plane) - 2개의 서로 교차하고 방향이 다른 직선 l, m에 대해 직선 l의 점 위에서 직선 m과 평행하거나 일치한 직선들을 모을 때 생기는 도형을 말한다. 직관적으로 말해서는 임의의 방향으로 곧게 연장한 것이 모두 직선이 되는 2차원 도형을 말한다.
* [[곡면]](Surface) - 국소적으로 평면과 위상동형(homeomorphic)인 2차원 도형을 말한다. 특히 임의의 방향으로 연장한 곡선들이 모두 부드러운 곡선을 이루면 부드러운 곡면(Smooth surface)이라고 부른다. 특별히 국소적으로 완전한 평면을 이루는 경우 평평한 표면(flat surface)이라고 부른다.
* 평면도형 - 평면 위에서 정의된 도형이며, 속이 꽉찬 도형을 가리키는 경우가 많다.
** [[정다각형]]
** [[원 (도형)|원]]
** [[폴리오미노]]
=== 3차원 도형 ===
* 공간(Flat Space) - 서로 교차하고 선형 독립인 직선 l,m,n의 선형 생성(Linear Span)이다. 우리가 흔히 말하는 좌표공간이 대표적인 공간이다.
* 공간도형 - 공간 위에서 정의된 도형이며, 역시 평면도형과 마찬가지로 속이 꽉 찬 도형을 가리키는 경우가 많다.
** [[정다면체]]
** [[구 (도형)|구]]
=== 초입체 ===
4차원 이상의 도형을 말한다.

== 다른 분류 ==

* 경계의 유무 - 경계가 있는 유계(bounded) 도형과 경계가 없는 무계(unbounded) 도형이 있다.
* 위상학적인 성질 - 위상학적으로 닫혀 있는 경우 닫힌 도형(closed shape)이라고 하고, 열려 있는 경우 열린 도형(opened shape)이라고 부른다. 예를 들면 우리가 흔히 보는 도형들의 경우 경계(boundary)를 포함한 도형이나 그 도형의 경계 그 자체는 닫힌 도형이 되고, 경계를 제외한 부분만으로 이루어진 도형들은 열린 도형이 된다.

== 유클리드 공간 ==
{{본문|유클리드 공간}}
유클리드 공간은 유한 개 또는 무한 개의 선형 독립(linearly independent)인 벡터들의 선형 생성(Linear Span)을 말한다. 보통은 실수에 의해 생성되는 실공간(Real Space)을 의미하는 경우가 많다.

우리가 살고 있는 공간은 3차원 유클리드 공간이다.
== 다양체 ==
{{본문|다양체}}
다양체는 국소적으로 [[유클리드 공간]]과 위상동형인 도형을 말한다.

{{각주}}
[[분류:도형| ]]

도형 - 편집 역사

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